Question

Un capacitor esférico contiene una carga de 5.5nC; cuando está conectado a una diferencia de potencial de 220V. Si sus placas están separadas por vacío y el radio interno de la coraza exterior es de 5cm. Determine: a) La capacidad. b) El radio de la esfera interior.

Answer 1

La capacidad del capacitor es de 25 pF y el radio interno del mismo es de 4,09 cm.

¿Cuál es la capacitancia del capacitor esférico?

Si tenemos el valor de carga que el capacitor adquiere al estar conectado a una diferencia de potencial conocida, podemos calcular su capacitancia mediante la correspondiente expresión:

$C=\frac{Q}{V}=\frac{5,5\times 10^{-9}C}{220V}=2,5\times 10^{-11}C=25pF$

¿Cuál es el radio interno del capacitor?

El capacitor esférico está formado por dos esferas concéntricas que constituyen sus placas, el espacio entre las superficies de las dos esferas es el dieléctrico. Aplicando la ley de Gauss podemos hallar el campo eléctrico en algún punto del dieléctrico:

$\int\limits^{}_{} {E} \, dS=\frac{Q}{\epsilon_0} \\\\E.4\pi.R^2=\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{Q}{4\pi.\epsilon_0.R^2}$

Con el campo eléctrico podemos hallar la diferencia de potencial entre las placas, siendo 'a' y 'b' el radio interno y el radio externo respectivamente:

$\Delta V=\int\limits^b_a {E} \, dr =\int\limits^b_a {\frac{Q}{4\pi.\epsilon_0.R^2}} \, dr =\frac{Q}{4\pi.\epsilon_0}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$

Como conocemos la carga y la diferencia de potencial podemos hallar el radio interno sin continuar hasta obtener la expresión de la capacitancia:

$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\Delta V\frac{4\pi.\epsilon_0}{Q}\\\\\frac{1}{a}=\Delta V\frac{4\pi.\epsilon_0}{Q}+\frac{1}{b}\\\\a=\frac{1}{\frac{\Delta V.4\pi.\epsilon_0}{Q}+\frac{1}{b}}=\frac{1}{\frac{220V.4\pi.8,85\times 10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}{5,5\times 10^{-9}C}+\frac{1}{0,05m}}\\\\a=0,0409m=4,09cm$

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