Un candado, en lugar de llave, tiene cuatro cilindros numerados para poner una combinación de cuatro números.
a) Supongamos que cada cilindro tiene los dígitos del 0 al 9 ¿Cuántas combinaciones se podrían generar? ¿Qué potencia modela este problema?
b) Si el candado tuviera sólo 4.096 combinaciones posibles ¿Qué dice esto del número de dígitos de cada cilindro?
Respuesta y Desarrollo (20ptos)
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La cantidad de combinaciones posibles en el primer candado de 4 números entre el 0 y el 9 es de 10000, y en el segundo candado, de 3 números entre el 1 y el 9, es de 729 ó 9³ combinaciones distintas.
En el planteamiento, correspondiente a un problema de combinatorias, debemos averiguar a cual corresponde: combinación, variación o permutación. Para ello contestamos las siguientes preguntas:
a) Importa el orden de los elementos? Si. No es igual que la clave sea 1234 que 1243. Son dos claves diferentes.
b) En cada configuración participan todos los elementos? No, solo se necesitan 4 números para la clave de 40.
c) Se pueden repetir? Si, la clave puede ser 1111.
Esto determina que estamos ante una variación con repetición, por lo cual la fórmula a emplear es:
V (ⁿₓ) = xⁿ
¿Cuántas combinaciones hay, si cada uno de los 4 discos tiene las cifras de 0 a 9?
V(⁴₁₀) = 10⁴
V(⁴₁₀) = 10000 distintas combinaciones
2. Otro candado tiene 3 discos y las cifras de 1 a 9. Calcula las combinaciones que se pueden poner. Escribe el número también como potencia.
V(³₉) = 9³
V(³₉) = 729 o 9³ distintas combinaciones
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El total de combinaciones que se pueden formar es igual a 6561 combinaciones
¿Qué es una permutación?
Permutación: es la manera de tomar de un conjunto de n elementos k de ellos, donde el orden de selección es relevante. La ecuación que cuenta la cantidad de permutaciones es:
Perm(n,k) = n!/(n-k)!
¿Qué es una combinación?
Combinación: es la manera de tomar de un conjunto de n elementos k de ellos, donde el orden de selección no es relevante. La ecuación que cuenta la cantidad de combinaciones es:
Comb(n,k) = n!/((n-k)!*k!)
Cálculo de las cantidades que se pueden generar
Tenemos que son combinaciones de 4 números entre el 0 al 9, entonces, tenemos que el total de combinaciones es:
9*9*9*9 = 6561
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