Un canalón para agua de 20 pies de longitud tiene extremos en forma de triángulos isósceles cuyos lados miden 4 pies de longitud. Determine la dimensión a través del extremo triangular de modo que el volumen del canalón sea máximo. Encuentre el volumen máximo. .
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Se debe maximizar el volumen V del canalón,
V = (área del extremos triangular del canalón) ⇥ (largo del canalón).
Sea h la altura del extremo triangular del canalón.
De la figura y del teorema de Pitágoras se tiene que
h2 +
⇣x
2
⌘2
= 42 =) h =
r
16 x2
4 = 1
2
p64 x2
, 0 x 8.
c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/16
Cálculo I
Por lo tanto,
(área del extremo triangular del canalón) = (base) ⇥ (altura)
2 = x
q
16 x2
4
2 = 1
4
x
p16 x2.
Como el largo del canalón es de 20 pies entonces el volumen del canalón es
V (x) = ✓1
4
x
p16 x2
◆
· 20 = 5x
p64 x2
, 0 x 8.
Como la función V (x) es continua en el intervalo cerrado [0, 8], el teorema del valor extremo garantiza
que ella tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en este intervalo.
Dado que
V 0
(x) = 10
x2 32
p64 x2
,
se tiene que V 0
(x)=0 cuando x = ±4
p
2, siendo x = 4p
2 el único número crítico de V (x) en el intervalo
abierto (0, 8). En este caso V (0) = V (8) = 0, V (4p
2) = 5(4p
2)q
64 (4p
2)2 = 20p
2
p
64 32 =
20p
2
p
32 = 20 ⇥ 8 = 160. El mayor de estos tres valores es el máximo absoluto del volumen. De acuerdo
con esto, el canalón de mayor volumen debe tener 4
p
2 ⇡ 5,66 pies de ancho en la parte superior, con lo
cual el volumen máximo del canalón será de 160 pies3
Explicación paso a paso: