Question

un camino tiene una inclinación de 12 con respecto a la horizontal ¿cuanto hay que caminar hacia arriba para alcanzar una altura de 40m?​

Answer 1

Se deberá caminar aproximadamente 192.4 metros hacia arriba para alcanzar la altura deseada

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura que se desea alcanzar subiendo por el camino inclinado, el lado AB (c) que representa la distancia que se debe caminar hacia arriba para alcanzar la altura requerida -o lo que es lo mismo la longitud de la trayectoria- y el lado AC (b) que es plano horizontal donde se ubica el camino. Donde este forma con el plano horizontal un ángulo de inclinación de 12°

Donde se pide hallar:

Que distancia se debe caminar para alcanzar la altura requerida o lo que es lo mismo la longitud de la trayectoria

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura que se quiere alcanzar y de un ángulo de inclinación de 12°

• Altura a alcanzar = 40 metros

• Ángulo de inclinación = 12°

• Debemos hallar la distancia a recorrer por el camino o la longitud de la trayectoria

Hallamos la distancia que se debe caminar hacia arriba para alcanzar la altura requerida - longitud de la trayectoria-

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura a alcanzar-, y conocemos un ángulo de inclinación de 12° y debemos hallar que distancia se debe recorrer hacia arriba para alcanzar dicha altura, es decir la longitud de la trayectoria, - la cual es la hipotenusa del triángulo rectángulo- determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica seno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(12^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold {sen(12^o) = \frac{altura \ a \ alcanzar }{ longitud \ de \ la \ trayectoria } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ de \ la \ trayectoria = \frac{ altura \ a \ alcanzar }{ sen(12^o) } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ de \ la \ trayectoria = \frac{40 \ m }{ sen(12^o) } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ de \ la \ trayectoria = \frac{ 40 \ m }{ 0.207911690818 } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ de \ la \ trayectoria \approx 192.38937 \ m}}$

$\textsf{Redondeamos por exceso }$

$\large\boxed { \bold { longitud \ de \ la \ trayectoria \approx 192.4\ m}}$

Luego se deberá caminar aproximadamente 192.4 metros hacia arriba para alcanzar la altura deseada

Se agrega gráfico