Question

Un camino en una colina tiene una inclinación de 10° con la horizontal, y un poste de teléfonos vertical está situado sobre este camino. Cuando el ángulo de elevación del Sol es 62°, el poste proyecta una sombra de 14.5 pies hacia abajo de la colina y paralela a la carretera. Encuentre la altura del poste.
ALGUIEN QUE ME AYUDE PLIS

Answer 1

La altura h del poste es de aproximadamente 24.34 pies

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos: el SPQ, el SPR y el SRQ, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SPQ el lado SQ equivale a la distancia hasta la parte superior del poste desde el pie de la ladera de la colina, sobre la cual se encuentra el camino -la que se observa con un ángulo de elevación al sol de 62°-, el lado PQ representa la distancia desde el suelo hasta el extremo superior del poste y el lado PS es el plano horizontal donde se asienta la base de la colina

Donde este triángulo rectángulo contiene a dos triángulos:

El SPR y el SRQ siendo el primero rectángulo y el segundo obtusángulo

Donde el triángulo rectángulo SPR representa a la ladera de la colina -donde se ubica el poste- la cual tiene una pendiente o ángulo de inclinación de 10° -respecto a la horizontal- y donde conocemos la dimensión del lado SR la cual es la longitud de la sombra proyectada por el poste sobre el camino -colina abajo- de 14.5 pies

Dado que lo que se pide hallar es la altura h del poste y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SRQ conocemos el valor del lado SR que es la longitud de la sombra proyectada por el poste sobre el camino inclinado -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo rectángulo SPR que representa a la ladera de la colina- con un valor de 14.5 pies y se tiene el lado SQ que es la distancia desde el pie de la colina en S hasta la cima del poste. Y finalmente el lado QR que es la altura del poste y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SRQ

Hallamos el valor del ángulo interno en S al que denotamos como α

Restando del ángulo de elevación al sol de 62° el ángulo de inclinación de la colina de 10°:

Teniendo:

$\boxed {\bold { \alpha =62^o -10^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 52^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al que denotamos como γ

El valor de este ángulo resulta ser el mismo que para el triángulo rectángulo SPQ

Consideramos luego un ángulo recto de 90° y el ángulo de elevación al sol de 62°

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 62^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 90^o- 62^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 28^o }}$

No siendo necesario para la resolución del ejercicio hallar el valor del tercer ángulo

Calculamos la altura h del poste empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {QR} = h = Altura \ Del \ Poste }$

$\bold{\overline {SR} =Sombra \ Del \ Poste = 14.5 \ pies }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{QR} \ h}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SR} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR}\ h }{ sen(52 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} }{sen(28^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR} \ h }{ sen(52 ^o ) } = \frac{ 14.5 \ pies }{sen(28^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 14.5 \ pies \ . \ sen(52^o ) }{sen(28^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 14.5 \ pies \ . \ 0.788010753607 }{ 0.469471562786 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 11.4261559273015 }{ 0.469471562786}\ pies }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h \approx 24.338 \ pies }}$

$\textsf{ Redondeando }$

$\large\boxed { \bold { \overline{QR}\ h \approx 24.34\ pies }}$

La altura h del poste es de aproximadamente 24.34 pies

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas