Un cafetalero del sur de México dispone de 600 hectáreas aptas para sembrar café. Sabe que la ganancia en G pesos mexicanos que obtendrá de su producción dependerá del número de hectáreas sembradas x, de acuerdo a la expresión: G(x) = 2000x - 2x^2
a) ¿cómo es la concavidad de la expresión?
b) ¿Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener máxima ganancia?
c) ¿En cuánto disminuiría su ganancia si siembre las 600 hectáreas disponibles?
Respuestas a la pregunta
Planteamiento:
La ganancia en G pesos mexicanos que obtendrá de su producción dependerá del número de hectáreas sembradas x, de acuerdo a la expresión:
G(x) = 2000x-2x²
a) ¿cómo es la concavidad de la expresión?
Se puede observar como el término cuadrático es negativo, por tanto se puede afirmar que es cóncava hacia abajo (∩).
b) ¿Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener máxima ganancia?
Derivamos e igualamos a cero
G'(x) = 2000-4x = 0
x = 2000/4
x = 500 hectáreas.
Entonces:
G(500) = 2000(500) - 2(500)² = 500000
Se debe sembrar 500 hectáreas y la ganancia seria de 500000.
c) ¿En cuánto disminuiría su ganancia si siembre las 600 hectáreas disponibles?
G(600) = 2000·(600)-2·(600)² = 480000
G(600) = 500000-480000 = 200000
La ganancia va a disminuir en 200000.