Question

Un cable telefónico submarino debe cruzar un lago desde el punto P hasta el punto Q. En los puntos P, Q y R (vértices del triángulo)se hallan unos postes. Un ingeniero obtuvo las mediciones siguientes: RP= 100m, al ángulo QPR= 110° y el ángulo RQP=40°. Determina la distancia que hay entre los puntos P y Q.

Answer 1

La distancia entre los puntos P y Q es de 77.79 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: QPR de 110° y RQP de 40° como α y β respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo R al cual denotamos como γ

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 110^o+ 40^o+ \gamma }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 110^o- 40^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma = 30^o }}$

El valor del ángulo R (γ) es de 30°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos la distancia entre los puntos PQ (lado AC)

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(Q ) } = \frac{b}{sen(R)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{100 \ metros }{ sen(40 )^o } = \frac{ c }{sen(30)^o } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 100 \ metros \ . \ sen(30 )^o }{sen(40)^o } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 100 \ metros \ . \ \frac{1 }{2} }{ 0.6427876096865 }}}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 50 \ metros }{ 0.6427876096865 }}}$

$\boxed { \bold { c \approx 77.786191\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 77.79\ metros }}$

La distancia entre los puntos P y Q es de 77.79 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los ángulos y los lados planteada

Answer 2

El cable telefónico submarino tiene una longitud de 77.78 metros, siendo esta la distancia PQ.

Explicación paso a paso:

Para resolver este problema aplicaremos la ley de los senos. Es decir:

$\frac{a}{sen(A)} + \frac{b}{sen(B)} + \frac{c}{sen(C)}$

Debemos encontrar la distancia entre los puntos P y Q. Aplicamos la ley de los senos:

$\frac{RP}{sen(R)} =\frac{PQ}{sen(Q)}$

Observación: para encontrar el ángulo R debemos saber que la suma de los ángulos internos de un triangulo es igual a 180º; aplicamos la siguiente igualdad:

110º + 40º + R = 180º → la suma de los ángulos internos de un

R = 30º

Entonces, podemos decir que:

$\frac{100}{sen(40\º)} = \frac{PQ}{sen(30\º)}$

Despejamos y resolvemos:

$PQ = \frac{100*sen(30\º)}{sen(40\º)} \\\\PQ = \frac{100*0.5}{0.6427876097} \\\\PQ = 77.78\ m$

Por tanto, el cable telefónico submarino tiene una longitud de 77.78 metros, siendo esta la distancia PQ.