Question

UN CABLE DE COBRE DE 1.14 CM DE DIAMETRO DEBE LEVANTAR UNA CARAGDE 13.3 TON. ¿CALCULE EL AREA DEL CABLE EN PULGADAS Y LONGITUD DE CABLE)

Answer 1

El cable de cobre, al levantar una carga de 13,3 toneladas sufre un estiramiento de un 0,08% de su longitud en reposo y queda con un área transversal de 0,16 pulgadas cuadradas.

Explicación:

Cuando el alambre levante la carga de 13,3 toneladas sufrirá un estiramiento en función de su módulo de Young:

$E=\frac{\sigma}{\epsilon}=\frac{F/S}{\Delta L/L}$

O sea la relación entre la tensión (que es la fuerza por unidad de área transversal) y el estiramiento relativo, para el cobre el módulo de Young es E=110.000MPa, el área transversal del cable supuesto de sección circular es:

$S=\pi r^2\\\\r=0,007m\\S=\pi (0,007m)^2=1,54x10^{-4}m^2$

Y la fuerza que el cable soporta:

$m=13300kg\\g=9,8\frac{m}{s^2}\\\\F=mg=13300kg.9,8\frac{m}{s^2}=13kN$

Si intentamos hallar la deformación longitudinal del alambre tenemos que esta es:

$\epsilon=\frac{\Delta L}{L}=\frac{F/S}{E}$

Reemplazando valores:

$F=13kN\\S=1,54x10^{-4}m^2\\E=110GPa\\\\\epsilon=\frac{\Delta L}{L}=\frac{13kN/1,54x10^{-4}m^2}{1,1x10^{11}Pa}=7,67x10^{-4}=0,08\%$

El área del cable se encoge en su diámetro debido a la deformación transversal dada por el coeficiente de Poisson que para el cobre es 0,34:

$\nu=-\frac{\epsilon_{trans}}{\epsilon_{long}}\\\\\epsilon_{trans}=-\nu.\epsilon_{long}=-0,34.7,67x10^{-4}=-2,61x10^{-4}$

El nuevo diámetro del alambre es:

$D_2=D_1+\epsilon_{trans}.D_1=1,14cm-1,14cm.2,61x10^{-4}=1,1397cm$

Ahora el área en pulgadas cuadradas es:

$D=1,1397cm=0,449in\\\\S=\frac{\pi.D^2}{4}=0,16in^2$