Question

Un bombardero vuela horizontalmente a una altura
de 500 m con una velocidad de 100 m/s, desde él se
suella su proyectil, ¿en qué tiempo el proyectil dará
en el blanco y con qué velocidad llegará (en m/s)?
(g = 10 ms2).​

Answer 1

a) El tiempo de vuelo del proyectil es de 10 segundos, dando en el blanco para ese instante de tiempo

b) La velocidad con la cual el proyectil llega al blanco es de 141.42 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$, debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: $\bold { V_{y} = 0 }$ , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende

a) Calculamos el tiempo de vuelo del proyectil

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó el proyectil $\bold {H= 500 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\bold { V_{0y} = 0 }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 500 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 1000 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{100 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 10 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 10 segundos, dando en el blanco para ese instante de tiempo

b) Hallamos la velocidad con la cual el proyectil llega al blanco

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 10 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =100 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 10 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-100\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el instante de tiempo en que el proyectil llega al blanco se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(100 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-100\ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{10000\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +10000 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{20000\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 141.4213 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 141.42 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la cual el proyectil llega al blanco es de 141.42 metros por segundo (m/s)

Aunque el enunciado no lo pida

Determinamos el alcance máximo del proyectil es decir la trayectoria horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =100 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 10 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 1000 \ metros}}$

El alcance horizontal $\bold { x_{MAX} }$ es de 1000 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por el proyectil

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una semiparábola