Question

Un bloque esférico de hielo se derrite de tal forma que su radio disminuye con rapidez
constante de 40 a 30 cm en 60 minutos. Calculen la rapidez de cambio del volumen en el
instante en que el radio medía 35 cm.

Answer 1

La rapidez de cambio del volumen, en el instante en que el radio medía 35 cm, es aproximadamente 2563.63 cm³/min

Explicación paso a paso:

El volumen V de una esfera de radio  r  se calcula:

$\bold{V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}$

Ahora bien, la interrogante:

¿Con qué rapidez está cambiando el volumen cuando el radio media 35 cm?

Corresponde al cálculo de la derivada de la función volumen, pero aplicando derivación implícita, pues la variable independiente es el tiempo t.

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}$

Cuando el radio media 35 cm, ¿Cuál es su razón de cambio?

Sabemos que disminuye con rapidez constante de 40 a 30 cm en 60 minutos, lo que implica que disminuye 10 cm cada 60 minutos; es decir, 1/6 cm/min.

En definitiva, cuando el radio media 35 cm y estaba disminuyendo (derivada negativa) a razón de 1/6 cm/minuto:

$\bold{\frac{dV}{dt}=4\pi (35)^{2}(-\frac{1}{6})= -\frac{2450\pi }{3}\approx -2563.63\quad \frac{cm^{3}}{min}}$

La rapidez a la que disminuye el volumen, en el instante en que el radio medía 35 cm, es aproximadamente 2563.63 cm³/min.