Question

Un bloque de masa 10 kg se desliza por un plano inclinado sin friccion, tal como muestra la figura

Calcular:

d) si en el tramo de 3m existe friccion cuyo coeficiente es de u=0,25 cuanto comprime el resorte (muelle)

Answer 1

Separa en 4 instantes, A,B,C,D respectivamente.

Asumiendo que el bloque parte del reposo en A (en la cima del plano) entonces
(a) $v_o = 0 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$
Como el plano ejerce constantemente fuerza sobre el objeto, implicaría que tiene una aceleración constante, aplicando la segunda ley de newton en el eje paralelo al plano se obtiene lo siguiente


Aplicando
$\begin{matrix} w\sin{(30^{\circ})} &=& ma \\ \\ a &=& \dfrac{w\sin{(30^{\circ})}}{m} &=& g\sin{(30^{\circ})} \\ \\ &\approx& 4.9 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \end{matrix}$


Entonces la velocidad final en B (final del plano)
$\begin{matrix} v_f ^2 &=& v_o^2 + 2 a\Delta x \\ \\ v_f^2 &=& 2 a\Delta x &=& 2(4.9 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2})(8 \textrm{ m}) \\ \\ v_f &=& \sqrt{78.4} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} & \approx & 8.85 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \end{matrix}$

Finalmente , te dicen luego el objeto empieza a desacelerar por la fricción de la superficie en C
entonces
$\begin{matrix} f_k &=& -ma \\ \\ a &=& -\dfrac{f_k}{m} &=& -\dfrac{\mu_kmg}{m} \\ \\ &=& -\mu_kg &=& -(0.25)g \\ \\ &\approx & -2.45 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \end{matrix}$

Se calcula la velocidad en D (cuando hace  contacto con el muelle )
$\begin{matrix} v_f^2 &= &v_o^2 + 2a\Delta x \\ \\ v_f^2 &=& (8.85 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} ) ^2 + 2(-2.45 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} )(3 \textrm{m}) \\ \\ v_f &\approx & 7.98 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \end{matrix}$


Ahora para D a E (cuando el resorte y la fricción juntos frenan al objeto) utilizaremos Trabajo-Energía
Notemos que
$\begin{matrix} W_{\textrm{tot}} &=& \frac{1}{2}m (vf^2 - v_o^2) \\ &\approx &-318.4 \textrm{J} \end{matrix}$

Ahora la fuerza que hace el trabajo es la suma de la fricción más la fuerza elástica del resorte es decir
$kX + 98N$ entonces el trabajo  es

$\begin{matrix} W_{\textrm{tot}}&=&-kX^2 - 98XN\end{matrix}$

Igualando ambos trabajos

$\begin{matrix} kX^2 + 98X\textrm{N}&=&318.4 \textrm{J}\end{matrix}$
Faltaría un dato: la constante elástica del resorte , para solucionar lo último , pero se puede dejar expresada la respuesta en términos de dicha constante:

$\begin{matrix} X &=& \dfrac{ \sqrt{5} \sqrt{10125 + 1592 k} -225}{5k} \end{matrix}$

Y listo.