Question

Un barco se encuentra a distancia de 23km de un punto de observación y 18 km de otro: si estos puntos tienen una distancia de 35 km entre si, el ángulo que se forma entre el barco y los dos puntos de observación:

Answer 1

El valor del ángulo que se forma entre el barco y los dos puntos de observación es de C = 116.70°, la medida de los dos ángulos restantes son de A = 35.95°,y B = 27.35°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el lado BC (a) y el lado AC (b) equivalen a las distancias respectivas desde el barco -ubicado en el vértice C- hasta los dos puntos de observación ubicados en B y A. Y el lado AB (c) que es la distancia que existe entre ambos puntos de observación.

Donde se conocen las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 23 \ km }$

$\bold{b = 18 \ km }$

$\bold{c =35 \ km }$

Donde se pide hallar el valor del ángulo que se forma entre el barco y los dos puntos de observación

Para resolver este ejercicio y determinar los ángulos desconocidos entre los tres puntos vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos el ángulo A -ángulo que se forma entre el primer punto de observación y el segundo punto de observación y el barco-

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(18 \ km)^{2} + (35 \ km) ^{2} - (23 \ km)^{2} }{2 \ . \ 18 \ km \ . \ 35 \ km } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{324 \ km^{2} + 1225 \ km^{2} - 529\ km^{2} }{1260 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{1549 \ km^{2} - 529 \ km^{2} }{1260 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{1020 \not km^{2} }{1260 \not km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 1020}{1260 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )=0.809523809 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.809523809 ) }}$

$\boxed {\bold {A = 35.95056^o }}$

$\large\boxed {\bold {A = 35.95^o }}$

Hallamos el ángulo B -ángulo que se forma entre el segundo punto de observación y el primer punto de observación y el barco-

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(23 \ km )^{2} + (35 \ km )^{2} - (18 \ km )^{2} }{2 \ . \ 23 \ km \ . \ 35 \ km } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{529\ km^{2} + 1225\ km^{2} - 324 \ km^{2} }{1610 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{1754\ km^{2} - 324 \ km^{2} }{1610 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{1430 \not km^{2} }{1610 \not km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 1430 }{1610 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= 0.888198757 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {B=arccos( 0.888198757 ) }}$

$\boxed {\bold {B = 27.35223^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 27.35^o }}$

Hallamos el ángulo C -ángulo que se forma entre el barco y los puntos de observación-

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 35.95^o +27.35 ^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 35.95^o -27.35 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 116.70^o }}$

Por tanto el valor del ángulo comprendido entre el barco y los dos puntos de observación resulta ser: C = 116.70°

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas