Question

un barco navega 70 kms. en la direccion N 35 E y despues 90 km al Este. ¿Cual es su rumbo y el desplazamiento resultante?

Answer 1

El desplazamiento del barco es de 142.22 kilómetros

La dirección es de 23.78° con respecto al Este

Solución

Como en el enunciado se hace referencia a los puntos cardinales, ubicaremos a estos puntos en el plano.  

Representando el problema en el plano cartesiano.

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje.

Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de la las abscisas representa la dirección este –oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos donde el barco empezó a desplazarse como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, se toma  el semieje positivo del eje Y como la dirección Norte y el semieje positivo del eje X como la dirección Este

El barco parte del punto O (0,0) navegando a 35° medidos desde el Norte hacia el Este 70 kilómetros, hasta alcanzar el punto A, luego desde este punto desarrolla  un recorrido en dirección Este recorriendo 90 kilómetros hasta alcanzar el punto B donde termina su trayectoria

Determinamos las coordenadas de los puntos  

Punto A

El barco se desplaza 70 kilómetros a 35° medidos del Norte hacia el Este, lo que equivale a 55° del Este hacia el Norte, desde el origen de coordenadas

Donde prescindimos de las unidades para hallar los pares ordenados, sabiendo que representan kilómetros

Teniendo:

$\large\boxed{\bold { A (x_{1} , y_{1} ) }}$

$\boxed{\bold { x_{1 } = 70 \ . \ cos(55^o) }}$

$\large\boxed{\bold { x_{1 } = 40.15 }}$

$\boxed{\bold { y_{1 } = 70 \ . \ sen(55^o) }}$

$\large\boxed{\bold { y_{1 } = 57.34 }}$

Luego

$\large\boxed{\bold { A (x_{1} , y_{1} ) = (40.15 , 57.34) }}$

Por lo tanto el barco en su primer trayecto navega hasta el punto (40.15, 57.34)  alcanzando ese punto al que llamamos A desde el origen de coordenadas

Punto B

Una vez alcanzado el punto A (40.15, 57.34) el barco se desplaza 90 kilómetros al Este.

$\large\boxed{\bold { B (x_{2} , y_{2} ) }}$

Por tanto al desplazarse en una dirección paralela al eje X o eje de las abscisas:

Para el Punto B se modifica su coordenada en el eje X y donde el punto B mantiene el mismo valor del punto A para el eje Y o eje de ordenadas

Resultando en:

$\boxed{\bold { x_{2 } = x_{1} + x_{2} }}$

$\boxed{\bold { x_{2 } = 40.15 + 90 }}$

$\large\boxed{\bold { x_{2 } = 130.15 }}$

$\large\boxed{\bold { y_{2 } = 57.34 }}$

Luego

$\large\boxed{\bold { B (x_{2} , y_{2} ) = (130.15 , 57.34) }}$

Luego el barco al recorrer 90 kilómetros en dirección Este desde el punto A (40.15, 57.34) avanza hasta el punto B (130.15, 57.34) donde culmina su trayectoria

Hallamos el Desplazamiento Resultante

El desplazamiento está dado por la distancia recorrida desde el punto inicial hasta el punto final de la trayectoria.

$\large\textsf{ Donde el punto inicial est\'a dado por el origen de coordenadas:}$

$\boxed{\bold { O \ (0,0) }}$

$\large\textsf{ Y donde el punto donde termina el trayecto est\'a dado por } \\\large\textsf{ el par ordenado:}$

$\boxed{\bold { B\ (130.15 \ , \ 57.34) }}$

Empleamos la fórmula de la distancia entre puntos para determinar el desplazamiento

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(130.15 - 0 )^{2} +(57.34 -0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{(130.15) ^{2} +(57.34) ^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{ 16939.0225 + 3827.8756 } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{D_{R} }|| = \sqrt{20226.8981 } } }$

$\large\boxed{ \bold {||\overrightarrow{D_{R} }|| \approx 142.22 \ km } }$

El desplazamiento del barco es de 142.22 kilómetros

Hallamos la dirección

Para hallar la dirección recurrimos a las razones trigonométricas usuales

Donde dado que conocemos el punto final de la trayectoria tomaremos la razón trigonométrica tangente con los valores del punto B

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{cateto \ opuesto }{cateto \ adyacente }}}$

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{y_{2} }{x_{2} }}}$

$\boxed{\bold { tan (\beta)= \frac{57.34 \not km }{ 130.15 \not km }}}$

Aplicamos tangente inversa

$\boxed{\bold { \beta= arctan\left( \frac{57.34 }{ 130.15 } \right) }}$

$\boxed{\bold { \beta= arctan\ ( 0.44056857 ) }}$

$\boxed{\bold { \beta= 23.77678^o }}$

$\large\boxed{\bold { \beta= 23.78^o }}$

La dirección es de 23.78° con respecto al Este

Se encuentra en el adjunto la resolución gráfica

Dedico la resolución de este ejercicio a mi propia y maravillosa Estrella del Norte