Question

Un barco cuya velocidad en 15 km /h en aguas tranquilas va 30km aguas abajo y vuelve en un total de 4 horas y 30 minutos. La velocidad de la corriente (en km /h) es: A:5 B:10 C:6 D:4

Answer 1

La velocidad de la corriente es de 5 km/h

Explicación paso a paso:

Datos:

Vb = 15 km/h

d = 30 km

t= 4 horas 30 minutos = 4,5 horas

Vc: es la velocidad de la corriente

Velocidad a favor de la corriente

V = Vb+ Vc

Velocidad en contra de la corriente:

V = Vb-Vc

Tiempo a favor de la corriente:

t = d/(Vb+Vc)

t = 30 km/(15km/h + Vc)

Tiempo en contra de la corriente:

t = d/(Vb-Vc)

t = 30 km/(15km/h - Vc)

La velocidad de la corriente:

Nos indican le tiempo total gastado por el barco en ida y vuela, entonces  sumemos los tiempos

Tt = t ₁ +t₂

4,5 h= 30km/(15km/h+Vc) +  30km/(15km/h-Vc)

Omitimos unidades para operar con mayor facilidad:

4,5 = 30/(15+Vc) +  30/(15-Vc)

4,5(15+Vc) (15-Vc) = 30(15-Vc) +30(15+Vc)

4,5 (225-15Vc +15Vc- Vc²) = 450-30Vc+450+30Vc

1012,50 -4,5Vc² = 900

Vc = √(-1012,5+900)/-4,5

Vc = 5 km/h

La velocidad de la corriente es de 5 km/h

Answer 2

La velocidad de la corriente es de 5 kilómetros por hora (km/h)

Siendo la opción correcta la A

Solución

Se trata de un problema de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) donde las variables que intervienen son distancia, velocidad y tiempo.

Se caracteriza porque el móvil realiza un movimiento donde se desplaza a velocidad constante y en línea recta y la aceleración es nula

En el problema propuesto tenemos dos intervalos para la velocidad del barco, el intervalo de ida, y el intervalo de regreso. En donde en cada intervalo el barco se desplazará a una velocidad diferente.

En el intervalo de ida la velocidad con que el barco se desplaza está dada por la suma vectorial de la velocidad del barco y la velocidad de la corriente del río. Por tanto la velocidad del desplazamiento del barco se reduce a una suma de sus magnitudes ya que estas van en la misma dirección y sentido

En otras palabras: a la velocidad a la que se desplaza el barco hay que sumarle la velocidad de la corriente del río. Es decir la velocidad del barco no depende sólo de su propio impulso sino de también de la velocidad del río ya que al ser la trayectoria del barco en el intervalo de ida aguas abajo la corriente del río favorece el desplazamiento del barco

Siendo para el viaje de ida

$\large\boxed { \bold { V_{ida} = V_{barco} + V_{corriente} }}$

$\boxed { \bold { V_{ida} = 15 \ km/h + V_{corriente} }}$

En el intervalo de vuelta de igual manera, la velocidad resultante será la suma vectorial de la velocidad del barco y la velocidad de la corriente, que se reduce a una resta de sus magnitudes ya que apuntan en la misma dirección pero en sentidos opuestos.  

Dicho de otro modo se produce la situación inversa a la trayectoria de ida del barco. Reiterando que al no depender la velocidad del barco de su impulso propio en el viaje de retorno el barco se está desplazando en contra de la corriente del río, por tanto al ir aguas arriba la corriente del río “retrasa” la trayectoria del barco, no la favorece, por tanto ambas magnitudes se restan.  

Siendo para el viaje de retorno

$\large\boxed { \bold { V_{retorno} = V_{barco} - V_{corriente} }}$

$\boxed { \bold { V_{retorno} = 15 \ km/h - V_{corriente} }}$

Luego empleando la fórmula general de MRU

$\large\boxed{ \bold { Distancia = Velocidad \ . \ Tiempo}}$

Planteamos

Para la ida del barco

$\boxed{ \bold { Distancia_{\ ida} = Velocidad_{\ ida} \ . \ Tiempo_{\ ida} }}$

Donde

$\boxed{ \bold { Tiempo_{\ ida} = \frac{ Distancia_{\ ida} }{ Velocidad_{\ ida} } }}$

$\boxed{ \bold { Tiempo_{\ ida} = \frac{ 30 \ km }{ ( 15 \ km/h + V_{corriente }) } }}$

Para el retorno del barco

$\boxed{ \bold { Distancia_{\ retorno} = Velocidad_{\ retorno } \ . \ Tiempo_{\ retorno} }}$

Donde  

$\boxed{ \bold { Tiempo_{\ retorno} = \frac{ Distancia_{ \ retorno } }{ Velocidad_{ \ retorno } } }}$

$\boxed{ \bold { Tiempo_{\ retorno} = \frac{ 30 \ km }{ ( 15 \ km/h - V_{corriente}) } }}$

Por enunciado sabemos que el tiempo total de recorrido es de 4 horas y 30 minutos

Lo que equivale a 4.5 horas       

Por tanto

$\boxed{ \bold { Tiempo_{\ total} = Tiempo_{\ ida } \ + \ Tiempo_{\ retorno} }}$

Reemplazando valores y donde

$\boxed{ \bold { Velocidad_{\ corriente} = V_{C} }}$

$\boxed {\bold { 4,5 \ h = \frac{30 \ km }{ (15 \ km/ h\ + V_{C} ) } + \frac{30 \ km }{(15 \ km/h \ - \ V_{C} ) } }}$

Donde despejamos para hallar la velocidad de la corriente

Multiplicamos ambos términos por $\bold{(15 + V_{C} ) \ (15 - V_{C} )}$para quitar el denominador

Obteniendo una ecuación de segundo grado

Donde quitamos las unidades para las operaciones sabiendo que son km/h

$\boxed {\bold { - \ 4.5 \ (V_{C} )^{2} = 900 -1012.5 }}$

$\boxed {\bold { - \ 4.5 \ (V_{C} )^{2} = -112.5 }}$

$\boxed {\bold { (V_{C} )^{2} = \frac{ -112.5 }{ - 4.5 } }}$

$\boxed {\bold { (V_{C} )^{2} = 25 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ (V_{C} )^{2} } \pm \sqrt{25} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{C} = \pm \ 5 }}$

La solución completa es el resultado de Vc = 5,-5

Por tanto para el valor de la velocidad de la corriente del río ambas soluciones son válidas

Dado que si se tomase como velocidad de la corriente de río -5 km/h el tiempo de recorrido de ida de la barca sería mayor que el tiempo de regreso de esta y si se toma como velocidad de la corriente del río el valor positivo de 5 km/h ocurriría justamente lo contrario

Pero como el eje de referencia - como se muestra en la figura adjunta - fue tomado aguas abajo, con el eje positivo en el sentido de la corriente del río y en donde el enunciado también lo propone:

Se concluye que la solución válida para este ejercicio es que la velocidad de la corriente es de 5 kilómetros por hora (km/h)