Question

Un balón de fútbol se patea al nivel del suelo y sale con una rapidez de 18.0 m/s formando un ángulo de 38,0° con respecto a la horizontal ¿cuanto tiempo tarda un balón en regresar al suelo?

Answer 1

El tiempo de vuelo del balón es de 2.26 segundos, luego llega al suelo nuevamente para ese instante de tiempo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

El tiempo que le lleva al balón llegar al suelo nuevamente está determinado por el tiempo de vuelo

Luego lo calculamos

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (18 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (38^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.615661475326 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36\ \ . \ 0.615661475326 }{9.8 \ } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{22.163813111763 }{9.8 \ } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2.26161\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.26 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del balón es de 2.26 segundos

Aunque el enunciado no lo pida

Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(18 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (38^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{324\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.615661475326 )^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{324 \ . \ 0.3790390522005869 }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 122.8086529129901556 }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 6.2657\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =6.27\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 6.27 metros

Determinamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 18 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 38^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 324 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (76^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 324 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.970295726276 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 324 \ . \ 0.970295726276 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{314.375815313424 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =32.07916\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 32.08 \ metros }}$

El alcance máximo del balón es de 32.08 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola