Question

Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 60° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 30 m antes de chocar contra el suelo. Calcular a) la rapidez inicial
del balón b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima que alcanza.

Answer 1

a) La rapidez inicial del lanzamiento es de 18.43 metros por segundo (m/s)

b) El tiempo de vuelo es de 3.26 segundos

c) La altura máxima que alcanza el balón es de 13 metros

Solución  

a) Rapidez inicial del balón

El alcance máximo de un proyectil está dado por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Despejamos la velocidad inicial }$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}$

$\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 30 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 60^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (120^o )} } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ \frac{\sqrt{3} }{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2}{\sqrt{3} } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \ .\ \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \right)\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^{2} } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{3 } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{\not 3 \ . \ 98 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{\not3 } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{196\sqrt{3} \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}= 18.43 \ \frac{m }{s } }}$

b) Tiempo de vuelo

El tiempo de vuelo de un proyectil está dado por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

En el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (18.43 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36.86\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36.86\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} } {9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 18.43\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 18.43\ . \sqrt{3} }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.25731 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.26 \ segundos }}$

c) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(18.43 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{339.6649\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{339.6649\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1018.9947}{4} }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{254.748965 }{19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 112.9973\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 13\ metros }}$