Question

Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 60° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 30 m antes de chocar contra el suelo. Calcular a) la rapidez inicial
del balón b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima que alcanza.

Answer 1

a) La rapidez inicial del balón es de 18.43 metros por segundo (m/s)

b) Su tiempo de vuelo es de 3.26 segundos

c) La altura máxima que este alcanza es de 13 metros

a) Rapidez inicial

El alcance máximo de un proyectil está dado por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Despejamos la velocidad inicial }$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}$

$\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}$

$\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 30 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 60^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (120^o )} } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ \frac{\sqrt{3} }{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2}{\sqrt{3} } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \ .\ \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \right)\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^{2} } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{3 } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{\not 3 \ . \ 98 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{\not3 } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{196\sqrt{3} \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}= 18.43 \ \frac{m }{s } }}$

b) Tiempo de vuelo

El tiempo de vuelo de un proyectil está dado por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

En el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (18.43 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36.86\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 18.43\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{9.8 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 18.43\ . \sqrt{3} }{9.8 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.25731 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.26 \ segundos }}$

c) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(18.43 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{339.6649\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{339.6649\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1018.9947}{4} }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{254.748965 }{19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 12.99739\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 13\ metros }}$

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola