Question

Un balón de futbol que se encuentra en reposo en el césped de una cancha es pateado con un ángulo de 35° respecto a la horizontal a una Vo = 30m/s. Calcular

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón?
b) ¿Cuál es la distancia horizontal recorrida?​

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza el balón es de 15.10 metros. b) El alcance máximo del balón es de 86.30 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por este al llegar al suelo

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(30 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (35^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{900\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.573576436351)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{900 \ . \ 0.3289899283371128 }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 296.09093550340152 }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 15.10668\ metros }}$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =15.1\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 15.10 metros

b) La distancia horizontal recorrida por el balón está determinada por su alcance máximo

Luego lo calculamos

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 30 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 35^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 900 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (70^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 900 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.939692620786 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 900 \ . \ 0.939692620786 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{845.7233587074 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =86.2983\ metros }}$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 86.3 \ metros }}$

El alcance máximo del balón es de 86.30 metros

Aunque el enunciado no lo pida

Determinamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (30 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (35^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{60\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.573576436351 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{60\ \ . \ 0.573576436351 }{9.8 \ } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{34.41458618106 }{9.8 \ } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.51169\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.51 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del balón es de 3.51 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola