Question

Un avion que vuela a 600m de altura, a 450km/h, debe destruir un polvorin. ¿A que distancia horizontal del polvorin debe dejar caer la bomba para destruirlo?​

Answer 1

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 1383.21 metros, siendo esta magnitud la distancia a la que debe caer la bomba para destruir el polvorín

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $(\bold { V_{y} = 0 ) }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Las ecuaciones del tiro horizontal son

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}$

Dado que

$\boxed {\bold { y_{0}= H }}$

$\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a_{y}= g }}$

Podemos reescribir como:

Posición

Para el eje x

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V \ . \ t }}$

Para el eje y

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Velocidad

Para el eje x

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Para el eje y

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} =g$

SOLUCIÓN

Convertimos los kilómetros por hora a metros por segundo

Dado que 1 kilómetro equivale a 1000 metros y en una hora se tienen 3600 segundos

$\boxed {\bold { V = 450 \ \frac{\not km}{\not h} \ . \left(\frac{1000 \ m }{1 \ \not km}\right) \ . \left(\frac{1 \ \not h }{3600 \ s}\right) = \frac{450000}{3600} \ \frac{m}{s} = 125 \ \frac{m}{s} }}$

Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bomba

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g= 9,8 \ m/ s^{2} }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzada $\bold {H = 600 \ metros}$

$\large\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Donde despejamos el tiempo

$\boxed {\bold { -600\ m =\left(\frac{-9,8 m/s^{2} }{2}\right) \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 2 \ . \ -600 \ m =-9,8 \ m /s^{2} \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { -1200\ m =-9,8 \ m/s^{2} \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{-1200 \ m}{-9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{-1200\ \not m }{-9,8 \ \not m/s^{2} } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{122.44897959183 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t =11.0657 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de la bomba es de 11.0657 segundos

Hallamos el alcance horizontal

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d = 125 \ m/ \not s \ . \ 11.0657\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 1383.21 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 1383.21 metros, siendo esta magnitud la distancia a la que debe caer la bomba para destruir el polvorín

Se adjunta gráfico