Question

Un avión en vuelo horizontal a una altura de 100 mts. y una velocidad de 70m/s deja caer una bomba, calcula la velocidad de la bomba al llegar al suelo.

Answer 1

La velocidad de la bomba al impactar el suelo es de 82.84 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bomba

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó el proyectil  $\bold {H= 100 \ m }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 100 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 200 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{20.408163265 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 4.517539 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 4.52 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bomba es de 4.52 segundos

Hallamos la velocidad con que llega el cuerpo al suelo

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de  4.52 segundo

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =70 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 4.52 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-44.30\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el tiempo de vuelo (que es el instante de tiempo en que el cuerpo llega al suelo) se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(70 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-44.30 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{4900 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +1962.49 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{6862.49\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 82.840147 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 82.84 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad que tiene la bomba al llegar al suelo es de 82.84 metros por segundo (m/s)

Aunque el enunciado no lo pida podemos hallar el alcance horizontal del proyectil

Determinamos donde cae el cuerpo en relación al punto en donde se lanzó, es decir la distancia horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =70 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 4.52\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 316.40 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 316.40 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal a la que cae la bomba con respecto al punto donde fue lanzada

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento