Question

Un avión caza describe un círculo de 1km de radio. Suponga que se escoge un sistema de coordenadas rectangulares de modo que el origen está en el centro del círculo. La nave dispara un misíl que describe una trayectoria rectlínea tangente al círculo e impacta en un blanco que se encuentra en el suelo cuyas coordenadas son (2,-2).
A. Determine el punto sobre el círculo donde fue disparado el misíl.
B. Si un misíl se dispara en el punto (-1/2,-√3/2) ¿En qué punto choca contra el suelo?

Answer 1

Vamos a empezar planteando la ecuación de la trayectoria que describe el avión caza la cual es una circunferencia de radio 1 con centro en el origen:

$x^2+y^2=1$

A) Planteamos también que en la circunferencia la recta tangente en un punto es siempre perpendicular al radio que pasa por ese mismo punto. De modo que entre el origen, el punto buscado y (2,-2) se forma un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos vale 1. Esto se ilustra en la imagen adjunta, la hipotenusa es la distancia al punto (2,-2). Y el ángulo que forma el radio con el segmento que une el origen con dicho punto es:

$\alpha =arccos(\frac{1}{\sqrt{2^2+2^2} } )=arccos(\frac{1}{\sqrt{8} } )=69,3\°$

Ahora bien, entre el segmento que une al origen con (2,-2) y el eje positivo horizontal se forma un ángulo de 45°, con lo que siendo $\beta$ el ángulo entre el radio y el eje horizontal negativo, y teniendo en cuenta que la suma de estos 3 ángulos debe dar 180\° tengo:

$\beta +45\°+69,3\°=180\°\\\beta=180\°-45\°-69,3\°=65,7\°$

Con lo que las coordenadas del punto desde donde se disparó el misil son:

$x=-1.cos(65,7\°)=-0,412\\y=-1.sen(65,7\°)=-0,911$

Los signos de las coordendas se deben a que de acuerdo a la imagen adjunta el punto se encuentra en el tercer cuadrante.

Resumiendo, el misil fue disparado desde el punto (-0,412,-0,911)

B) Supongamos que el misil tiene el mismo alcance que calculamos con los datos del problema anterior, hallando la distancia entre el punto de impacto y el punto desde donde fue disparado:

$d=\sqrt{(x_f-x_i)^2+(y_f-y_i)^2} =\sqrt{(2-(-0,412))^2+(-2-(-0,911))^2}\\d=\sqrt{(2,412)^2+(-1,089))^2}=\sqrt{7}$

Recordamos que en todo punto de la circunferencia, la recta tangente en ese punto será perpendicular al radio que pasa por ese mismo punto. Con lo que para hallar la trayectoria que seguirá el misil no hay más que encontrar el vector director de la recta teniendo en cuenta que el producto escalar entre este y el vector que une el origen con el punto de disparo es cero. Procedemos:

$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} ).(x_t,y_t)=0\\-\frac{1}{2}.x_t - \frac{\sqrt{3}}{2} .y_t=0$

Es una ecuación de 2 variables con infinitas soluciones, puedo adoptar el valor 1 para la componente y:

$-\frac{1}{2}.x_t - \frac{\sqrt{3}}{2}=0\\-\frac{1}{2}.x_t=\frac{\sqrt{3}}{2}\\-x_t=\sqrt{3}\\x_t=-\sqrt{3}$

Con lo que la ecuación vectorial de la trayectoria del misil es:

$(x,y)=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}  )+\lambda(-\sqrt{3},1)$

Ahora bien, sobre esa recta el misil se va a desplazar $\sqrt{7}$ kilómetros, el módulo del vector director es:

$|v_d|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$

De modo que tiene que ser:

$|\lambda(-\sqrt{3},1)|=\sqrt{7} \\\lambda|(-\sqrt{3},1)|=\sqrt{7} \\2\lambda=\sqrt{7}\\\lambda=\frac{\sqrt{7}}{2}$

Lo que queda es con este valor de lambda obtener en la recta trayectoria el punto de impacto:

$(x_f,y_f)=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}  )+\frac{\sqrt{7}}{2}(-\sqrt{3},1)=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}  )+(-\frac{\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{7}}{2})=(-\frac{1+\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2})$

Pero para que el misil impacte en este punto que está en el segundo cuadrante, el avión debería seguir una trayectoria en sentido antihorario. Mientras que el primer punto planteaba que el avión sigue el sentido horario. con $\lambda=-\frac{\sqrt{7}}{2}$ tengo:

$(x_f,y_f)=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{\sqrt{7}}{2}(-\sqrt{3},1)=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}  )-(-\frac{\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{7}}{2})=(\frac{-1+\sqrt{21}}{2},\frac{-\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2})$

Resumiendo, si el misil se dispara desde $(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ y el avión sigue una trayectoria en sentido horario, el misil impacta en $(\frac{-1+\sqrt{21}}{2},\frac{-\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2})$