Question

• Un automóvil que tiene ocho años de uso tiene un valor comercial de $28 770.76, pero hace tres años era de $42 218.55. Si el valor varía exponencialmente con el tiempo,

entonces halla:

a) La ecuación particular que expresa el valor del carro en término de los años de uso.

b) El valor del carro cuando tenga 12 años de uso.

c)El valor del auto cuando era nuevo.

d)Después de cuántos años de uso el valor del carro se reduce a la mitad?

e) Supón que se quiere vender el automóvil cuando tenga un valor de $11 758.00. ¿Cuántos años tendrá de uso?

Answer 1

La ecuación particular que describe la variación del valor en el tiempo es

$P(t) = 80000*e^{-0,1278*t}$

El valor del carro cuando tenga 12 años será 17260,60 $

El valor del carro nuevo es 80000 $

Deben pasar 5,5 años para que el valor del carro se reduzca a la mitad

Explicación paso a paso:

La expresión que se utiliza para un crecimiento exponencial es la siguiente:

$P(t) = Po*e^{r*t}$

Donde:

Po = valor inicial, valor del carro nuevo para t = 0.

r = constante de crecimiento

t = tiempo

P(t) = valor en un tiempo determinado.

Calculo de la constante r

Se tienen los siguientes datos

Para t = 8 años, P(8) = $28 770.76

Se tiene la ecuación 1

$28 770.76 = Po*e^{r*8}$

Despejando Po

$Po = \frac{28 770.76}{e^{r*8}}$

Para t = 8 años - 3 años = 5 años, P(5) = $42 218.55

Se tiene la ecuación 2

$42 218.55 = Po*e^{r*5}$

Despejando Po

$Po = \frac{42 218.55}{e^{r*5}}$

Igualando las ecuaciones 1 y 2

$\frac{28 770.76}{e^{r*8}} = \frac{42 218.55}{e^{r*5}}$

Se pasan los exponenciales a un lado de la ecuación y las constantes a otro, quedando:

$\frac{28 770.76}{42 218.55} = \frac{e^{r*8}}{e^{r*5}}$

Siguiendo las propiedades de exponenciales

$\frac{e^{r*8}}{e^{r*5}} = e^{r*8-r*5}$

Sustituyendo en la ecuación

$\frac{28 770.76}{42 218.55} =e^{r*8-r*5}$

Aplicando Ln a ambos lados de la igualdad

$ln\frac{28 770.76}{42 218.55} =lne^{r*8-r*5}$

Se simplifica ln y e:

$-0,3835 =8r - 5r$

$-0,3835 =3r$

$r = \frac{-0,3835}{3}$

$r = -0,1278$

Sustituyendo en la ecuación 1, se calcula el valor del carro nuevo, Po:

$Po = \frac{28 770.76}{e^{-0,1278*8}}$

$Po = 79,999,99 ≈ 80000$

Sustituyendo en la ecuación particular el valor de r y Po, nos queda:

$P(t) = 80000*e^{-0,1278*t}$

b) El valor del carro cuando tenga 12 años de uso.

Para calcular este valor se hace uso de la ecuación particular, sustituyendo t = 12

$P(t) = 80000*e^{-0,1278*12 }$

$P(t) = 17260,60 }$

El valor del carro cuando tenga 12 años será 17260,60 $

c)El valor del auto cuando era nuevo.

Este valor se calculo en el inciso a y corresponde a Po es 80000 $

d) Después de cuántos años de uso el valor del carro se reduce a la mitad?

Para calcular esto se despeja t de la ecuación particular, donde:

$P(t) = 80000*e^{-0,1278*t}$

$\frac{P(t)}{80000}  = e^{-0,1278*t}$

Aplicando ln a ambos lados de la igualdad

$ln\frac{P(t)}{80000}  = lne^{-0,1278*t}$

Se simplifica ln y e

$ln\frac{P(t)}{80000}  = -0,1278*t$

Se despeja t

$t = \frac{ln\frac{P(t)}{80000}}{ -0,1278}$

Se calcula el valor de P(t)

P(t) = Po/2 = 80000$ / 2 = 40000$

Sustituyendo P(t)

$t = \frac{ln\frac{40000}{80000}}{ -0,1278}$

$t = 5,46 años ≈ 5,5 años$

Deben pasar 5,5 años para que el valor del carro se reduzca a la mitad