Question

Un auto se detiene en una distancia de 13.0m moviéndose en un camino
horizontal a 43.2 Km/h. Considere las mismas condiciones de velocidad y del
camino y calcule: ¿En qué distancia se detendrá?, sí ahora el camino está inclinado
8.00° hacia debajo de la horizontal.

Answer 1

Si el camino va en declive con una inclinación de 8° respecto a la horizontal, el auto se detiene a los 17,5 metros.

Explicación:

En 13 metros de trayectoria horizontal los frenos del auto consiguen absorber toda su energía cinética, siendo la ecuación energética:

$\mu.N.d=\frac{1}{2}mv^2$

Ahora si el camino va cuesta abajo con una inclinación de 8° respecto de la horizontal, los frenos del auto además de absorber la energía cinética inicial también tienen que absorber la energía potencial que se convierte en energía cinética conforme el auto va avanzando:

$\mu.N_2.r=\frac{1}{2}mv^2+m.g.r.sen(8\°)$

La nueva fuerza normal en el plano inclinado es:

$N_2=mg.cos(8\°)$

Por lo que queda:

$mg.\mu.r.cos(8\°)=\frac{1}{2}mv^2+m.g.r.sen(8\°)\\\\g.\mu.r.cos(8\°)=\frac{1}{2}v^2+g.r.sen(8\°)$

De la ecuación energética inicial (con el plano horizontal) calculamos el coeficiente de rozamiento:

$\mu.N.d=\frac{1}{2}mv^2\\\\mg\mu.d=\frac{1}{2}mv^2\\\\g\mu.d=\frac{1}{2}v^2\\\\\mu=\frac{v^2}{2g.d}\\\\v=43,2\frac{km}{h}.\frac{1000m}{1km}.\frac{1h}{3600s}=12\frac{m}{s}\\\\\mu=\frac{(12\frac{m}{s})^2}{2.9,81\frac{m}{s^2}.13m}=0,565$

Y de la ecuación con el plano inclinado vamos a despejar la nueva distancia r:

$g.\mu.r.cos(8\°)=\frac{1}{2}v^2+g.r.sen(8\°)\\\\g.\mu.r.cos(8\°)-g.r.sen(8\°)=\frac{1}{2}v^2\\\\r=\frac{v^2}{2(g.\mu.cos(8\°)-g.sen(8\°))}=\frac{(12\frac{m}{s})^2}{2(9,81\frac{m}{s^2}.0,565.cos(8\°)-9,81\frac{m}{s^2}.sen(8\°))}\\\\r=17,5m$