Question

Un atleta lanza un disco con una velocidad de 10 m/s. Despreciando la resistencia del aire determina el máximo alcance del disco.
Como se ha pedido el maximo alcance debe lanzarse con ángulo de 45 grados.
La fórmula del maximo alcance es R=Vo2 sen0/g

Answer 1

El alcance máximo del disco es 10,20 metros

Sobre el movimiento parabólico

El tiro parabólico consiste en lanzar un objeto o proyectil con cierto ángulo y dejar que se mueva bajo la acción de la gravedad, luego el objeto seguirá una trayectoria en forma parabólica.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial.

Digamos que el movimiento horizontal transcurre a lo largo del eje x y el vertical a lo largo del eje y. Cada uno de estos movimientos es independiente del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Introducción

Sobre el alcance máximo

Sabemos que cuando se lanza un proyectil este describirá una trayectoria parabólica

En donde el alcance máximo, que es la distancia recorrida a lo largo del eje x alcanza su valor máximo con un ángulo de lanzamiento de 45°

Este es un axioma y debe cumplirse

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \alpha) }{ g } }}$

Donde

$\bold { V_{0} } \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { x_{max}} \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold { \alpha } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento }$

$\large \textsf{ Si el \'angulo } \bold{\alpha = 45 \ grados }$

$\boxed {\bold { sen (2 \alpha) = sen ( 2 \ . \ 45^o ) = sen \ 90^o }}$

$\large \textsf{Donde seno de 90 grados= 1 }$

$\large \textsf{Resultando la f\'ormula: }$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} }{ g } }}$

Obteniéndose con un ángulo de 45° el alcance máximo

Concluyendo que para que un proyectil llegue lo más lejos posible o tenga un alcance máximo debe ser lanzado con un ángulo de 45°

Solución

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} }{ g } }}$

$\large \textsf{Reemplazamos valores }$

Tomamos un valor de gravedad de 9,8 m/s²

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 10 \ m /s )^{2} }{ 9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{100\ m^{2} /s ^{2} }{ 9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} = 10,2040816 \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 10,20 \ metros }}$

Se adjunta una gráfica de simulación con distintas trayectorias parabólicas con la misma velocidad inicial pero con distintos ángulos de lanzamiento donde se observa que con el ángulo de 45° se obtiene el alcance máximo.

(Parábola de color azul)