Un astrónomo sabe que un satélite órbita la Tierra en un período que es un múltiplo exacto de una hora y que es menor que un día. Si el astrónomo observa que el satélite completa 11 órbitas en un intervalo de tiempo que comienza cuando un reloj (de 24 hrs) marca las 0 hrs DE un día dado y termina cuando el reloj marca las 17 hrs dé otro día,¿Cuánto dura el peiodo de órbita del satélite?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1. Sean a, b, c, d ∈ Z. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si son verdaderos,
probar el resultado, y si son falsos, dar un contraejemplo.
(1) Todo n´umero entero tiene un n´umero finito de divisores.
(2) Si a | b + c, entonces a | b y a | c.
(3) Si a | b y a | c, entonces a | b − c.
(4) Si a | b + c y a | b, entonces a | c.
(5) Si a | bc, entonces a | b ´o a | c.
(6) Si a - bc, entonces a - b y a - c.
(7) Si a | b y c | d, entonces ac | bd.
2. Encu´entrense los n´umeros q y r, garantizados por el algoritmo de la divisi´on, para las siguientes parejas
de n´umeros a, b:
(1) a = 434, b = 31.
(2) a = 23, b = 7.
(3) a = 47, b = −6.
(4) a = 59, b = 12.
(5) a = −12, b = 59.
(6) a = −59, b = −12.
3. Usando el algoritmo de la divisi´on, demuestre que
(1) Todo entero impar es de la forma 4k + 1 o 4k + 3 donde k ∈ Z.
(2) Todo entero impar es de la forma 6k + 1, 6k + 3 o 6k + 5 donde k ∈ Z.
4. Demuestre que
(1) Cualquier entero de la forma 6k + 5 es tambi´en de la forma 3m + 2, pero no al rev´es.
(2) El cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o 3k + 1.
(3) El cuadrado de cualquier n´umero impar se puede expresar como un n´umero de la forma 8n + 1.
(4) El cubo de cualquier entero es de la forma 9k, 9k + 1 o 9k − 1.
5. Demuestre que para todo n ∈ Z se cumple:
(1) 2 | n
2 − n
(2) 6 | n
3 − n
(3) 30 | n
5 − n
(4) 4 - n
2 + 2
(5) 4 - n
2 − 3
6. Sea n es un entero impar. Demuestre que
(1) 8 | n
2 − 1;
(2) Si 3 - n, entonces 6 | n
2 − 1
7. Sean n un natural y a y b enteros cualesquiera. Demuestre que
(1) a − b | a
n − b
n
.
(2) Si n es impar, entonces a + b | a
n + b
n
.
(3) Si d | n, entonces a
d − b
d
| a
n − b
n
.
8. Demuestre los siguientes criterios de divisibilidad:
(1) Un n´umero es divisible por 2 si y s´olo si su ´ultimo d´ıgito es par.
(2) Un n´umero es divisible por 3 si y s´olo si la suma de sus d´ıgitos es m´ultiplo de 3.
(3) Un n´umero es divisible por 4 si y s´olo si sus ´ultimos dos d´ıgitos son 00 o forman un n´umero divisible
por 4.
(4) Un n´umero es divisible por 5 si y s´olo si su ´ultimo d´ıgito es 0 ´o 5.
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(5) Un n´umero es divisible por 8 si y s´olo si sus ´ultimos tres d´ıgitos son 000 o forman un n´umero
divisible por 8.
(6) Un n´umero es divisible por 9 si y s´olo si la suma de sus d´ıgitos el m´ultiplo de 9.
(7) Un n´umero es divisible por 10 si y s´olo si su ´ultimo d´ıgito es 0.
9. Encuentre criterios para determinar si un n´umero entero es divisible por 6, 7, 11, 12 ´o 13, y demu´estrelos.
10. En cada uno de los siguientes casos exprese n en base b.