Question

Un astronauta, que en la Tierra pesa 1450 N (con todo el equipo) llega a un planeta desconocido y
observa que allí su peso es de 2700 N. Si la masa de ese planeta es de 4,2 ·1031 kg, determinar: (A)
densidad del plantea; (B) Si el astronauta lanza verticalmente y hacia arriba una piedra con una
rapidez de 4 m/s, ¿qué tiempo tardará en caer de nuevo al suelo en ese planeta y a qué altura máxima
llegará?

Answer 1

El planeta donde llega el astronauta tiene una densidad de 5,26 kilogramos por metro cúbico. En el mismo una piedra tarda 438 milisegundos en aterrizar una vez lanzada y alcanza una altura de 0,438 metros.

Explicación:

Empecemos calculando la masa del astronauta con todo el equipo:

$P=mg\\\\m=\frac{P}{g}=\frac{1450N}{9,81\frac{m}{s^2}}=148kg$

De la ecuación de la ley de gravitación universal, teniendo la masa del astronauta y la masa del planeta, se puede hallar el radio del mismo:

$P_2=G\frac{m_p.m_a}{r^2}\\\\r=\sqrt{G\frac{m_p.m_a}{P_2}}=\sqrt{6,674\frac{Nm^2}{kg^2}\frac{4,2x10^{31}kg.148kg}{2700N}}=1,24x10^{10}m$

a) Con lo cual la densidad del planeta es la relación entre la masa del mismo y el volumen, modelando al planeta como una esfera perfecta:

$\delta=\frac{m_p}{\frac{4}{3}\pi.r^3}=\frac{4,2x10^{31}kg}{\frac{4}{3}\pi.(1,24x10^{10}m)^3}\\\\\delta=5,26\frac{kg}{m^3}$

b) Si el astronauta arroja una piedra hacia arriba con una rapidez de 4 metros por segundo, esta seguirá la siguiente ecuación horaria:

$z=v_ot-\frac{1}{2}at^2$

Donde a es la aceleración gravitatoria de ese planeta, la cual es:

$P_2=ma=\frac{P}{g}a\\\\a=\frac{P_2g}{P}=\frac{2700N.9,81\frac{m}{s^2}}{1450N}=18,27\frac{m}{s^2}$

Entonces el tiempo que la piedra tarda en aterrizar una vez lanzada es:

$v_ot-\frac{1}{2}at^2=0\\t=\frac{2v_0}{a}=\frac{2.4\frac{m}{s}}{18,27\frac{m}{s^2}}=0,438s=438ms$

Y el tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura.

$v=v_0-at\\0=v_0-at\\\\t=\frac{v_0}{a}=\frac{4\frac{m}{s}}{18,27\frac{m}{s^2}}=219ms$

Si lo reemplazamos en la ecuación de posición obtenemos la altura máxima:

$z=v_0.t-\frac{1}{2}at^2=4\frac{m}{s}.0,219s-\frac{1}{2}.18,27\frac{m}{s^2}(0,219s)^2\\\\z=0,438m$