Question

Un astronauta de 1.75m de altura juega baloncesto en la superficie de la luna donde la gravedad es de 1.62 m/s2. A qué distancia x del centro del aro debe realizar su lanzamiento para encestar el balón, si se sabe que el balón es soltado a la altura de su cabeza con un ángulo de 20° con respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de 19.8m/s y que el aro se encuentra a 2.5m de altura medida desde la superficie. (De la respuesta en m)

Answer 1

Para poder encestar el balón el astronauta debe realizar el lanzamiento a 153.44 metros del centro del aro

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

Solución:  

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes horizontal y vertical para una $\bold { V_{0} = \ 19.8\ \frac{m}{s} }$

Velocidad horizontal

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = 19.8 \ \frac{m}{s} \ . \ cos \ 20^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0x} = 18.61\ \frac{m}{s} }}$

Velocidad vertical

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y  

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0y} = 19.8\ \frac{m}{s} \ . \ sen \ 20^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0y} = 6.77\ \frac{m}{s} }}$

Las velocidades horizontal y vertical del lanzamiento son respectivamente de 18.61 m/s y de 6.77 m/s

Determinamos el tiempo que se emplea para que el balón entre en el aro

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H+ {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\large \textsf{Tomando el valor de la gravedad lunar } \bold {1.62 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Donde consideramos que el balón fue lanzado desde una altura de 1.75 metros y que debe entrar para lograr el enceste en un aro ubicado a 2.5 metros de altura

Por tanto

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { y =H+ {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { 2.5 \ m = 1.75 \ m \ + 6.77 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{1.62\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }$

$\boxed {\bold { 2.5 \ m - 1.75\ m =6.77 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{1.62\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { 0.75 \ m =6.77 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\ 0.81\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 6.77 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\ 0.81\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} - \ 0.75 \ m = 0 }}$

$\boxed {\bold { \ 0.81\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} - 6.77 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ + \ 0.75 \ m = 0 }}$

$\large\textsf{Se tiene una ecuaci\'on cuadr\'atica }$

$\large\boxed {\bold { 0.81\ t^{2} - 6.77 \ t \ + \ 0.75 \ = 0 }}$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 0.81, b = -6.77 y c = 0.75 }$

$\large\textsf{Para resolver para t}$    

$\boxed{ \bold{t = \frac{6.77 \pm \sqrt{ ( -6.77)^2 - 4\ . \ (0.81 \ . \ 0.75) } }{2 \ . \ 0.81} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{6.77 \pm \sqrt{ 45.8329 - 4\ . \ (0.6075) } }{1.62 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{6.77 \pm \sqrt{ 45.8329 - 2.43 } }{1.62 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{6.77 \pm \sqrt{ 43.4029 } }{1.62 } }}$

$\large\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 8.245\ , \ 0.112 }}$

$\large\textsf {Al tener dos soluciones consideramos que t = 0.112 es el instante }\\\large\textsf {de tiempo del bal\'on de b\'asquetbol cuando a\'un estaba }\\\large\textsf {ascendiendo .Y el valor de t = 8.245 es el instante de tiempo en que }\\\large\textsf {la pelota cae para entrar en el aro }$

$\large\textsf {Se toma para t (tiempo) el instante en que la pelota entra al aro }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 8.245 \ segundos }}$

Conociendo el valor del tiempo- el cual es el mismo para los dos movimientos en x y en y- podemos ahora hallar a que distancia x se debe realizar el lanzamiento para que el balón entre en el aro

Hallamos la distancia x para que el balón entre en el aro

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal y la multiplicamos por el instante de tiempo hallado

$\large\boxed {\bold { distancia\ x =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { distancia\ x = 18.61\ \frac{m}{\not s}\ . \ 8.245 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { distancia\ x =153.44 \ metros }}$

Para poder encestar el balón el astronauta debe realizar el lanzamiento a 153.44 metros del centro del aro. Siendo esta la distancia x