Question

Un arquitecto recibe un proyecto de la municipalidad de San Luis, para remodelar su parque. La forma del parque, está representado por la ecuación polar r(3-2cosθ)=2.El arquitecto planea construir un camino que une los extremos de la parte más ancha del terreno. Por ello, se requiere obtener las coordenadas de los extremos en coordenadas polares. Para ayudar al arquitecto a lograr su objetivo, se deberá seguir la siguiente estrategia: Pasar la ecuación polar a cartesiana. Hallar los puntos extremos de la parte más ancha del terreno, utilizando la ecuación cartesiana, hallada en a). Convertir los puntos extremos encontrados en la parte b) a coordenadas polares​

Answer 1

Los puntos extremos de la parte más ancha son en coordenadas cartesianas $(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\sqrt{5}), (\frac{4}{5},-\frac{2}{5}\sqrt{5})$ y en coordenadas polares $(\frac{6}{5},48,2\°),(\frac{6}{5},-48,2\°)$

Explicación paso a paso:

Para pasar la ecuación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas vamos a poner a la variable 'r' en función del ángulo mediante las siguientes identidades:

$x=r.cos(\theta)\\y=r.sen(\theta)$

Mientras que de acuerdo a la ecuación tenemos:

$r=\frac{2}{3-2cos(\theta)}$

Entonces, las coordenadas cartesianas X e Y son:

$x=\frac{2cos(\theta)}{3-2cos(\theta)}\\\\y=\frac{2sen(\theta)}{3-2cos(\theta)}$

Como la curva es simétrica respecto del eje de abscisas, porque la función coseno es par, los puntos más anchos del parque serán los máximos de la coordenada 'y', que hallamos mediante la derivada:

$\frac{dy}{d\theta}=\frac{2.cos(\theta).(3-2.cos(\theta)-2.sen(\theta)(2sen(\theta))}{(3-2cos(\theta))^2}\\\\2.cos(\theta).(3-2.cos(\theta)-2.sen(\theta)(2sen(\theta))=0\\\\6cos(\theta)-4cos^2(\theta)-4sen^2(\theta)=0\\\\6cos(\theta)-(4cos^2(\theta)+4sen^2(\theta))=0\\\\6cos(\theta)-4=0\\\\cos(\theta)=\frac{2}{3}\\\\sen(\theta)=\sqrt{1-(\frac{2}{3})^2}=\ñ\frac{\sqrt{5}}{3}$

La abscisa y ordenada de los extremos de la parte más ancha son:

$x=\frac{2.cos(\theta)}{3-2cos(\theta)}=\frac{2\frac{2}{3}}{3-2\frac{2}{3}}=\frac{4}{5}\\\\y=\frac{2.sen(\theta)}{3-2.cos(\theta)}=\frac{\ñ.2\frac{\sqrt{5}}{3}}{3-2\frac{2}{3}}=\ñ\frac{2}{5}\sqrt{5}$

Para convertir los puntos hallados a coordenadas polares, vamos a hallar el módulo y el ángulo:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{2}{5}\sqrt{5})^2}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}\\\\\theta_1=tan^{-1}(\frac{y}{x})=tan^{-1}(\frac{\frac{2}{5}\sqrt{5}}{\frac{4}{5}})=48,2\°\\\\\theta_2=tan^{-1}(\frac{y}{x})=tan^{-1}(\frac{-\frac{2}{5}\sqrt{5}}{\frac{4}{5}})=-48,2\°$