Question

un arquero realiza un lanzamiento de una flecha con una velocidad inicial de 50 m/s y un angulo de 15 grados, realiza el calculo de la altura maxima, alcance horizontal y tiempo de vuelo de la flecha

Answer 1

a) La altura máxima alcanzada por la flecha es de 8.37 metros

b) El alcance máximo horizontal de la flecha es de 125 metros

c) El tiempo de vuelo de la flecha es de 2.59 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

a) Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(50 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (15^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{2500\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.2588190451)^{2} }{20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{2500 \ . \ 0.0669872981 }{ 20\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{167.46824526 }{ 20 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 8.37341\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 8.37\ metros }}$

La altura máxima que alcanza la flecha es de 8.37 metros

b) Cálculo del alcance horizontal

La ecuación del alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 50 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 15^o ) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 2500 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (30^o ) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{2500 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{1}{2} }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 2500 \ . \ 0.5 }{ 10 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1250 }{ 10 } \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 125 \ metros }}$

El alcance máximo horizontal de la flecha es de 125 metros

c) Hallamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (50 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (15^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{100\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.2588190451 }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{100\ \ . \ 0.2588190451 }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{25.88190451 }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2.5881\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.59 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la flecha es de 2.59 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento