Question

Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. Determine la altura inicial del árbol si la parte que cayo hacia el suelo forma con este un ángulo de 20°, y la parte del tronco que quedo en pie mide 10m de altura. con procedimiento por favor

Answer 1

La altura inicial del árbol es de aproximadamente 37,47 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Se resolverá el problema de este modo

Dado que el árbol por efecto del viento se quebró en dos partes, en donde conocemos la dimensión de una de ellas, que es la parte del tronco, hallaremos la parte del árbol que cayó hacia el suelo

Una vez hallada esa magnitud, la altura inicial del árbol resulta ser la sumatoria de las dos partes.

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la parte del tronco que quedó en pie, el lado BC que representa la parte quebrada del árbol que cayó al suelo y el lado AC que conforma con el suelo y la parte vertical del tronco un ángulo de 20°

Donde se pide hallar la altura inicial del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura de la parte del tronco que quedó en pie del árbol y de un ángulo de elevación de 20°

• Parte del tronco del árbol = 10 metros

• Ángulo de elevación = 20°

• Debemos hallar la parte quebrada del árbol que cayó al suelo, para luego hallar la altura inicial del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB = parte del tronco del  árbol), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 20° y debemos hallar la parte del árbol que cayó al suelo, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(20)\° = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan(20)\° = \frac{\ parte \ tronco \ \'arbol }{ resto\ \'arbol \ quebrado } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold {resto\ \'arbol \ quebrado \ ( BC) = \frac{\ parte \ tronco \ \'arbol }{ tan(20)\° } }}$

$\boxed { \bold {resto\ \'arbol \ quebrado \ ( BC) = \frac{10 \ metros }{ tan(20)\° } }}$

$\boxed { \bold {resto\ \'arbol \ quebrado \ ( BC) = \frac{10 \ metros }{ 0,3639702342662 } }}$

$\boxed { \bold {resto\ \'arbol \ quebrado \ ( BC) \approx 27,47277\ metros }}$

$\boxed { \bold {resto\ \'arbol \ quebrado \ ( BC) \approx 27,47\ metros }}$

La parte del árbol que cayó al suelo es de aproximadamente 27,47 metros

Para obtener la altura inicial del árbol le sumamos a la parte hallada en el paso anterior la altura del tronco que quedó en pie.

$\boxed { \bold { Altura \ \'Arbol = Parte \ altura \ tronco \ + \ Resto \ Quebrado}}$

Remplazamos valores

$\boxed { \bold {Altura \ \'Arbol =10 \ metros \ + \ 27,47 \ metros }}$

$\boxed { \bold {Altura \ \'Arbol = 37,47 \ metros }}$

La altura inicial del árbol es de aproximadamente 37,47 metros