Question

Un árbol proyecta una sombra en el suelo de 28 m

Un árbol proyecta una sombra en el suelo, de 28 m en el mismo
momento en que un poste de 7.5 m proyecta una sombra de 8.4 m.
¿Cuál es la altura de este árbol? en el mismo
momento en que un poste de 7.5 m proyecta una sombra de 8.4 m.
¿Cuál es la altura de este árbol?

Answer 1

La altura del árbol es de 25 metros

Para la resolución de este ejercicio se empleará el teorema de Tales

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales

Uno de ellos explica básicamente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existente

Dos triángulos semejantes tienen ángulos congruentes, por lo tanto sus lados respectivos son proporcionales

El teorema de Tales enuncia

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Como se observa en la figura que se adjunta se forman dos triángulos que son semejantes y por tanto proporcionales

Para el triángulo semejante ABC

Observando la figura que se adjunta vemos que conocemos la longitud de la sombra proyectada por el árbol -lado AC- y donde nuestra incógnita x es la altura del árbol -lado BC-

Conocemos

$\bold{\overline{AC } = 28 \ m }$

$\bold{\overline{BC } = x \ m }$

Luego para el triángulo semejante AB'C'

Vemos que sabemos la longitud de la sombra arrojada por el poste -lado AC'- y también la altura de mismo -lado B'C'

Luego

$\bold{\overline{AC'} = 8.4 \ m}$

$\bold{\overline{B'C'} =7.5 \ m}$

Con estos valores

Calculamos la altura del árbol

Por el teorema de Tales

Expresamos

$\boxed{ \bold { \frac{\overline{BC} }{\overline{AC} } = \frac{\overline{B'C'} }{\overline{AC'} } }}$

$\boxed{ \bold { \frac{x }{\overline{AC} } = \frac{\overline{B'C'} }{\overline{AC'} } }}$

$\boxed{ \bold { x = \frac{\overline{AC}\ . \ \overline{B'C'} }{\overline{AC'} } }}$

$\large \textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed{ \bold { \frac{x }{28 \ m } = \frac{7.5 \ m }{ 8.4 \ m } }}$

$\textsf{Resolvemos en cruz }$

$\boxed{ \bold { x = \frac{28\not m \ . \ 7.5\ m }{8.4\ \not m } }}$

$\boxed{ \bold { x = \frac{210 }{8.4} \ m }}$

$\large\boxed{ \bold { x= 25 \ metros }}$

La altura del árbol es de 25 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto