Question

un árbol proyecta una sombra de 45 metros de largo Cuál es la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol es de 37°? ​

Answer 1

La altura del árbol es de 33.75 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Siendo el triángulo de 37-53 lo que se conoce como triángulo notable

La altura del árbol junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el árbol hasta cierto punto donde esta se extiende .Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde el punto donde culmina la sombra hasta el extremo superior del árbol visto con un ángulo de elevación al sol de 37°

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la longitud de la sombra proyectada por el árbol y de un ángulo de elevación al sol de 37°

• Sombra del árbol = 45 metros

• Ángulo de elevación = 37°

• Debemos hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado  -que es la longitud de la sombra proyectada por el árbol y conocemos un ángulo de elevación al sol de 37° y debemos hallar la altura del árbol, - la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Determinamos la altura del árbol

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 37^o }$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ del \ arbol }{ sombra\ del \ arbol} } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =sombra\ del \ arbol \ . \ tan(37^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =45 \ m \ . \ tan(37^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =45 \ m \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol = \ \frac{135}{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { altura \ del \ arbol = 33.75 \ metros } }$

Luego la altura del árbol es de 33.75 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto