Question

Un árbol de altura H proyecta una sombra 7 metros. Se sabe que la longitud desde la copa del árbol al extremo de la sombra sobre el suelo es de 11 metros. ¿Cuál será la altura de dicho árbol?

Answer 1

El árbol tiene una altura de aproximadamente 8.49 metros

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\large\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución

El ángulo que forma el árbol con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Donde la altura del árbol forma un cateto, el otro cateto lo conforma la longitud de la sombra  que proyecta y siendo la longitud desde la copa del árbol al extremo de la sombra en el suelo la hipotenusa del triángulo rectángulo

Conocemos la longitud desde la copa del árbol hasta el extremo de su sombra  (hipotenusa = c) y una distancia que es la sombra que el árbol proyecta (cateto 2)

Debemos hallar la altura del árbol de acuerdo a los datos dados

Empleamos la notación habitual en los triángulos rectángulos siendo a y b los catetos y c la hipotenusa

Aplicando teorema de Pitágoras

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}$

$\bold {a = H }$

$\boxed {\bold { a^{2} = (11 \ m) ^{2} \ - \ (7 \ m)^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 121 \ m^{2} \ - \ 49 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 72 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{72 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{72\ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a = 8.48528 \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { a \approx 8.49 \ metros }}$

El árbol tiene una altura de aproximadamente 8.49 metros