Question

un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga encontrar el ángulo que se forma entre la punta de la sombra y la punta del árbol​

Answer 1

El ángulo que conforma el extremo de la sombra con la parte superior del árbol es de aproximadamente 39,806°

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del árbol, el lado BC que representa la longitud de su sombra y el lado AC que es la proyección visual desde el extremo de la sombra hasta la parte más alta del árbol.

Donde se pide hallar el ángulo que debe formar el extremo de la sombra hasta la parte más alta del árbol -ángulo de elevación-

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura del árbol y la longitud de su sombra

Altura del árbol = 50 metros

Longitud de la sombra = 60 metros

Debemos hallar el ángulo que conforma el extremo de la sombra y la cima del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB = altura del árbol), asimismo conocemos el valor del cateto adyacente (lado BC = longitud de la sombra) y nos piden hallar el ángulo que debe formar el extremo de la sombra con la parte superior del árbol, podemos relacionar los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto }{cateto \ adyacente} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = \frac{altura \ del \ \'arbol }{sombra \ del \ \'arbol} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = \frac{50 \ metros }{60 \ metros } = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed{ \bold { tan(\alpha ) = 0,83333333333} }}$

$\boxed{ \bold { \alpha = arctan ( 0,83333333333) }}$

$\boxed{ \bold { \alpha \approx 39,8055\° }}$

$\boxed{ \bold { \alpha \approx 39,806\° }}$

El ángulo buscado es de aproximadamente 39,806°