Question

“Un ángulo de depresión es el que se forma entre la línea horizontal y la línea visual entre un observador y un
objeto situado por debajo de la horizontal”.
Un guardacostas está ubicado en su puesto de control
a 8m de altura desde donde observa un barco con un
ángulo de depresión de 8°. Calcular la distancia entre
el barco y la base de su puesto de control.

Answer 1

1) La distancia del barco a la base del puesto de control es de aproximadamente 56.923 metros

2) La distancia del punto A hasta donde se encuentran sus compañeros es de aproximadamente 186.603 metros

Se tratan de problemas de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

EJERCICIO 1

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del puesto de control donde se encuentra el guardacostas observando el barco, el lado AC que representa la distancia desde el barco hasta la base del puesto de control y el lado BC que es la línea visual desde lo alto del puesto de control al barco, donde este es observado con un ángulo de depresión de 8°

Donde se pide hallar:

A que distancia se encontraría el barco de la base de control

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 8° al punto C  para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura del puesto de control y de un ángulo de depresión de 8°

• Altura de la torre de control = 8 metros

• Ángulo de depresión = 8°

• Debemos hallar la distancia entre el barco y la base del puesto de control

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado AC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB = altura del puesto de control), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 8° y debemos hallar la distancia entre el barco y la base del puesto de control relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(8)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(8)^o = \frac{altura \ del \ puesto \ control }{ distancia\ del \ barco \ a \ la \ base } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ a \ la \ base = \frac{ altura \ del \ puesto \ control }{ tan(8)^o } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ a \ la \ base = \frac{ 8 \ metros }{ tan(8)^o } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ a \ la \ base = \frac{ 8 \ metros }{0.1405408347023 } }}$

$\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ a \ la \ base \approx 56.9229577 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold {distancia\ del \ barco \ a \ la \ base \approx 56.923 \ metros}}$

La distancia del barco a la base del puesto de control es de aproximadamente 56.923 metros

EJERCICIO 2

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura a la que se encuentra el globo donde se encuentra el estudiante, el lado AC que representa la distancia desde un punto A medido en tierra (perpendicularmente hasta el globo) hasta donde se encuentran sus compañeros observando el globo y el lado BC que es la línea visual desde donde se encuentran sus amigos hasta el globo, donde conocemos  un ángulo de 75° conformado por la altura donde se halla el globo y la línea visual de sus amigos hasta este

Donde se pide hallar:

A que distancia desde ese punto A medido en tierra se encuentran sus compañeros

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la altura a la que se halla el globo y de un ángulo de 75°

• Altura a la que se halla el globo = 50 metros

• Ángulo de elevación = 75°

• Debemos hallar a que distancia del punto A se encuentran sus compañeros

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado AC)

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo (lado AB = altura del globo), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 75° y debemos hallar a que distancia del punto A se encuentran sus compañeros relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(75)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(75)^o = \frac { distancia\ al \ punto\ A }{ altura \ del \ globo } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ punto\ A = altura \ del \ globo \ . \ tan(75)^o }}$

$\boxed { \bold {distancia\ al \ punto\ A =50 \ metros \ . \ tan(75)^o }}$

$\boxed { \bold {distancia\ al \ punto\ A = 50\ metros \ . \ 3.7320508075688 }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ punto\ A \approx 186.602540378 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia\ al \ punto\ A \approx 186.603 \ metros}}$

La distancia del punto A hasta donde se encuentran sus compañeros es de aproximadamente 186.603 metros