Question

Un Angel que me ayude! La solucion de la ecuacion : y''-5y'+4y=1
Esta es la respuesta final: y=C1e^4x+C2e^x+1/4
Pero no se el procedimiento! :(

Answer 1

La solución y(t) de y''-5y'+4y = 1 es la suma de una solución particular con una solución de la ecuación homogénea

Primero encuentras la solución de la ecuación homogénea:
y'' -5y' + 4y = 0

Proponemos:
$y(t) = e^{rt}\\r\ constante\\\\y''-5y'+4y=(r^2-5r+4)e^{rt}=0\\(r-4)(r-1)=0\\r_1=4\\r_2=1\\\\y(t)=c_1e^{4t}+c_2e^{t}$

Ahora buscas una solución particular:
Sea:
$y_P=at^2+bt+c\\y'=2at+b\\y''=2a\\\\y''-5y'+4y=2a-10at-5b+4at^2+4bt+4c\\=4at^2+t(4b-10a)+(2a-5b+4c)=0t^2+0t+1\\4a=0\to a=0\\4b-10a=0\to b=0\\2a-5b+4c=1\to 4c=1\to c=1/4\\y_P=1/4$

Entonces la solución es la suma de la solución particular y la solución de la ecuación homogénea:
$\boxed{y=c_1e^{4t}+c_2e^t+1/4}$

Saludos!