Question

Un analista encontró que las ganancias de su empresa, en cientos de miles de dólares, están dadas por r = - 3 x 2 + 35 x - 50, donde x es la cantidad, en cientos de dólares, gastada en publicidad. ¿Para qué valores de x tiene ganancias la empresa? ¿Para qué valor de x la ganancia es máxima?

Answer 1

r = -3X² + 35X - 50

Primero miramos para que valores tendria ganancia la empresa, para ello hacemos la ecuacion igual a 0 y hallamos los valores
0 = -3X² + 35X - 50

Donde: a = -3; b = 35; c = -50

$X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X=\frac{-35\pm \sqrt{35^2-4(-3)(-50)}}{2(-3)}$

$X=\frac{-35\pm \sqrt{1225-600}}{-6}$

$X=\frac{-35\pm \sqrt{625}}{-6}$

$X=\frac{-35\pm \ 25}{-6}$

X1 = [-35 + 25]/-6 = -10/-6 = 5/3

X2 = [-35 - 25]/-6 = -60/-6 = 10

a) Los valores de X que nos generan ganacia seria los comprendidos en el intervalo (5/3 , 10)

b) Aplicamos en criterio de la primera y la segunda derivada

r = -3X² + 35X - 50

r´= -6X + 35

Hago r´= 0

0 = -6X + 35

6X = 35

X = 35/6

Ahora hallo la segunda derivada para saber si tengo un maximo o un minimo

r´´ = -6

Como r´´ < 0 ; - 6 < 0 Tengo un maximo para X = 35/6

La ganancia maxima se produce para  X = 35/6

r = -3(35/6)² + 35(35/6) - 50 = 625/12