Question

Un alambre rectilíneo largo contiene una región semicircular con radio de 0.95 m, y está colocado en un campo magnético uniforme de magnitud 2.20 T, como se muestra en la figura. ¿cuál es la fuerza magnética neta que actúa sobre el alambre cuando conduce una corriente de 3.4 A?​

Answer 1

La fuerza total que sufre el alambre es de 22,4N que actúa en sentido horizontal y hacia la derecha en la imagen que acompaña a la pregunta.

Explicación paso a paso:

En este problema se plantea la fórmula de la Fuerza de Lorentz como producto vectorial:

$F=ilxB$

De modo que como la corriente siempre es perpendicular al campo magnético, en un elemento diferencial de longitud del alambre, la diferencial de fuerza será:

$dF=iBdl$

Pero como la fuerza es perpendicular tanto al campo magnético como a la dirección de la corriente, respecto de un eje horizontal que consideramos el del alambre queda como en la imagen adjunta, de acuerdo con la ley de la mano derecha, queda:

$dF_x=dF.cos(\theta)\\\\dF_y=dF.sen(\theta)$

Y al diferencial de l lo podemos expresar como:

$dl=rd\theta$

Y las componentes de la fuerza quedan:

$F_x=\int\limits^\pi_0 {iBrcos(\theta)} \, d\theta =0\\\\F_y=\int\limits^\pi_0 {iBrsen(\theta)} \, d\theta =iBr[-cos(\theta)]^{\pi}_0=2iBr$

Reemplazando valores queda:

$i=3,4A\\B=2,2T\\r=0,95m\\\\F_y=F=2.3.4A.2,2T.0,95m=14,21N$

Esta fuerza actúa hacia la derecha de la imagen en sentido horizontal.

Ahora en los dos tramos rectos aparecen sendas fuerzas que de acuerdo a la ley de la mano derecha actuarán en sentido horizontal a la derecha de la imagen por lo que se suman, la suma de estas dos fuerzas es:

$F_r=i(3m-2r).B=3,4A.(3m-2.0,95).2,2T=8,23N$

Y la fuerza total, es la sumatoria de la fuerza en los tramos rectos con la fuerza en el tramo curvo, estas se suman algebraicamente porque tienen la misma dirección y sentido:

$F_{TOT}=F+F_r=14,21N+8,23N=22,4N$