Question

Un alambre no uniforme de longitud L y masa M tiene una densidad lineal de masa variable dada por μ=kx, donde x es la distancia desde un extremo de un alambre y k es una constante
A) Demuestre que M=KL^2/2
B) Demuestre que el tiempo t requerido para que la pulsación generada en un extremo del alambre viaje hasta el otro extremo está dado por t=√8ML/9f, donde f es la tensión del alambre

Answer 1

La masa del alambre es $M=\frac{1}{2}KL^2$

El tiempo necesario para que el pulso recorra todo el alambre es $t=\sqrt{\frac{ML}{2f}}$

Explicación:

a) Si la densidad lineal de masa es m=kx, tenemos un diferencial de masa $dm=kxdx$ por lo que la masa total del alambre es:

$M=\int\limits^L_0 {kx} \, dx=[\frac{k^2}{2}]^{L}_0=\frac{1}{2}kL^2$

b) La velocidad de la onda siendo f la tensión del alambre y $\mu$ la densidad lineal es:

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{T}{kx}}$

Podemos calcular una velocidad media a lo largo del alambre:

$<v>=\frac{1}{L}\int\limits^L_0 {v} \, dx=\frac{1}{L}\int\limits^L_0 {\sqrt{\frac{f}{kx}}} \, dx\\\\<v>=\frac{\sqrt{f}}{L\sqrt{k}}\int\limits^L_0 {\frac{1}{\sqrt{x}}} \, dx\\\\<v>=\frac{\sqrt{f}}{L\sqrt{k}}.[2\sqrt{x}]^{L}_0=\frac{2\sqrt{fL}}{L\sqrt{k}}=\sqrt{\frac{4f}{kL}}$

Si introducimos la masa del alambre queda:

$M=\frac{1}{2}kL^2\\\\kL=\frac{2M}{L}\\\\<v>=\sqrt{\frac{4f}{\frac{2M}{L}}}=\sqrt{\frac{4f.L}{2M}}=\sqrt{\frac{2fL}{M}}$

Y el tiempo para recorrer todo el alambre es:

$L=<v>.t\\\\t=\frac{L}{<v>}=\frac{L}{\sqrt{\frac{2fL}{M}}}=L\sqrt{\frac{M}{2fL}}=\sqrt{\frac{ML^2}{2fL}}\\\\t=\sqrt{\frac{ML}{2f}}$