Question

Un alambre de plástico, aislante y recto, mide 8.5cmc de longitud y tiene una densidad de carga de +170 nC/m, distribuidos uniformemente a lo largo de su longitud. El alambre se encuentra sobre una superficie horizontal. Encuentre la magnitud campo eléctrico que produce este alambre en un punto que está 8cmc directamente arriba de su punto medio.

Answer 1

El campo eléctrico a 8 centímetros por encima del punto medio del alambre es de 18,7kN/C.

Explicación:

Para analizar el campo eléctrico de un alambre finito con carga distribuida uniformemente se lo trata como una sucesión lineal de cargas puntuales, aplicándose la Ley de Coulomb. De modo que nos queda:

$dE=k\frac{dQ}{r^2}$

Pero:

$dQ=\lambda dx$

Siendo λ la distribución lineal de carga. Y como la distancia es respecto del punto medio podemos hacer:

$r^2=d^2+x^2$

Adoptando x=0 para el punto medio del alambre.

Nos queda:

$dE=k\frac{\lambda dx}{d^2+x^2}\\\\E=k\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}} {\frac{\lambda}{d^2+x^2}} \, dx$

Operamos sobre la integral y queda:

$E=\frac{k}{d^2}\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}} {\frac{\lambda}{1+(\frac{x}{d})^2}} \, dx=k\lambda[\frac{arctg(\frac{x}{d})}{d}]^{\frac{L}{2}}_{-{\frac{L}{2}$

Ahora desarrollando la expresión anterior:

$E=k\lambda[\frac{arctg(\frac{x}{d})}{d}]^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}=\frac{k\lambda}{d}[arctg(\frac{L}{2d})-arctg(-\frac{L}{2d}))]=\frac{2k\lambda}{d}arctg(\frac{L}{2d})$

Reemplazando queda:

$d=0,08m\\L=0,085\\\lambda=170nC/m\\k=9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}\\\\E=\frac{2.9x10^{9}.1,7x10^{-7}}{0,08}arctg(\frac{0,085}{2.0,08})=18679\frac{N}{C}$