Question

Un alambre de plástico, aislante y recto, mide 7.6 LaTeX: cmc m de longitud y tiene una densidad de carga de +172 LaTeX: nC/mn C / m, distribuidos uniformemente a lo largo de su longitud. El alambre se encuentra sobre una superficie horizontal. Encuentre la magnitud campo eléctrico que produce este alambre en un punto que está 9 LaTeX: cmc m directamente arriba de su punto medio.

Answer 1

La intensidad del campo eléctrico a 9cm por encima del punto medio del alambre horizontal cargado es de 13,4 kN/C.

Desarrollo:

En este caso se toma al alambre recto como una sucesión de cargas puntuales, siendo la intensidad del campo eléctrico en el punto de interés de cada diferencial de longitud dada por la Ley de Coulomb:

$dE=k\frac{dQ}{r^2}$

Si tomamos su punto medio como origen de coordenadas y ponemos la carga en función de la longitud, y además tenemos en cuenta que se suman solo las componentes transversales de los  vectores dE, ya que las longitudinales se compensarán, esto se puede escribir como:

$dE=k\frac{\lambda dx}{x^2+d^2}.cos(\theta)$

Donde d es la distancia entre el alambre y el punto bajo estudio y θ el ángulo entre esta distancia y el segmento que une al punto bajo estudio y el elemento dQ. Y el campo eléctrico total será el siguiente:

$E=k\lambda\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {\frac{1}{x^2+d^2}\frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}}} \, dx \\\\E=k\lambda\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {\frac{d}{(x^2+d^2)^{\frac{3}{2}}} \, dx\\\\E=k\lambda\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {\frac{d}{d^3((\frac{x}{d})^2+1)^{\frac{3}{2}}} \, dx$

Hacemos el cambio de variable:

$\frac{x}{d}=tan(u)\\dx=d\frac{du}{cos^2(u)}$

Y queda:

$E=\frac{k\lambda}{d}\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {\frac{1}{(1+tan^2(u))^{\frac{3}{2}}} \,\frac{1}{cos^2(u)} du=\frac{k\lambda}{d}\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {\frac{1}{(\frac{1}{cos^2(u)})^{\frac{3}{2}}} \,\frac{1}{cos^2(u)} du$

Si seguimos operando queda:

$E=\frac{k\lambda}{d}\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {\frac{1}{\frac{1}{cos^3(u)}} \,\frac{1}{cos^2(u)} du=\frac{k\lambda}{d}\int\limits^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}} {cos(u)} \, du=\frac{k\lambda}{d}.sen(u)$

$E=\frac{k\lambda}{d}.sen(arctan(\frac{x}{d}))=\frac{k\lambda}{d}.[\frac{x/d}{\sqrt{1+\frac{x^2}{d^2}}}]^{l/2}_{-l/2}$

Lo que desglosando da:

$E=\frac{k\lambda}{d^2}.\frac{l}{\sqrt{1+\frac{l^2}{4d^2}}}$

Reemplazando valores queda:

$k=9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}\\\lambda=172x10^{-9}\frac{C}{m}\\d=0,09m\\l=0,076m\\\\E=9x10^{9}\frac{1,72x10^{-7}}{0,09^2}.\frac{0,076}{\sqrt{1+\frac{0,076^2}{4.0,09^2}}}=13377\frac{N}{C}=13,4\frac{kN}{C}$