Question

Un agricultor tiene 140 metros de malla para instalar una cerca en su huerta de hortalizas que es de forma de un rectángulo
a. Encuentre una función que modele el área de la huerta que pueda cercar.
b. ¿para que valor de la longitud del largo, el área es máximo?

Answer 1

1. Supongamos que los lados de la huerta sean x e y, entonces el perímetro es igual a 2x + 2y.

2. Por dato tenemos una malla de 140 m para cercar la huerta, entonces

                                                   2x + 2y = 140

simplificando

                                                       x + y = 70

3. El área de la huerta será A = xy. Si despejamos "y" en la segunda ecuación tenemos: y = 70 - x, luego lo reemplazamos en el área A

                                                    $A=x(70-x)$

4, Ahora intentemos hallar el máximo valor que puede tomar el área

                                         $A=70x - x^2\\\\A=-(x^2-70x)\\\\A=-\left(x^2-70x+(\frac{70}{2})^2\right)+(\frac{70}{2})^2\\ \\A=-(x-35)^2+35^2$

Sabemos que todo número real al cuadrado no es negativo, es decir

             $(x-35)^2\geq0\Rightarrow -(x-35)^2\leq0\Rightarrow -(x-35)^2+35^2\leq35^2\\\\A\leq 35^2=1225$

Entonces el mayor valor del área es 1225 m²

Pero nos piden el lado del largo del rectángulo, entonces

                                          $x(70-x)=1225\\\\70x-x^2=1225\\\\x^2-70x+1225=0\\\\(x-35)^2=0\\\\x=35$

Entonces el largo es 35 m y el ancho 35 m, es decir es un cuadrado

Answer 2

Sean x el largo e y el ancho. El perímetro es

$2x + 2y = 140$

o

$x + y = 70$

de donde

$y = 70 - x$

Y como el área es

$S(x,y) = x \cdot y$

sustituyendo el valor anterior de y, el área queda en función de x:

$S(x) = x \cdot ( 70 - x)$

o

$S(x) = -x^2 + 70x$

que es la función pedida.

El área será máxima en la abscisa en la que se anule la primera derivada, es decir en la x tal que

$S'(x) = -2x + 70 = 0$

es decir para x = 35 metros (obsérvese que es la cuarta parte de 140 m y, por tanto, la huerta es un cuadrado). Y es, en efecto un máximo pues la segunda derivada  

$S"(x) = -2$

es negativa.

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