Un agricultor necesita 2000 pies de malla para cercar un terreno rectangular que colinda con un río. Si la parte colindante no será cercado, calcule las dimensiones del terreno de área máxima mostrado en la figura.
Respuestas a la pregunta
Las dimensiones del terreno que permiten que el área sea máxima son:
500000 pies cuadrados
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuáles son las dimensiones del terreno de área máxima?
La cantidad de de malla es equivalente al perímetro del terreno.
P = 2000 pies = a + 2b
Siendo;
- a: largo
- b: ancho
Despejar a;
a = 2000 - 2b
Sustituir a en A;
A = (2000 - 2b)b
A = 2000b - 2b²
Aplicar primera derivada;
A' = d/db (2000b - 2b²)
A' = 2000 - 4b
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/db (2000 - 4b)
A'' = -4 ⇒ Máximo relativo.
Igualar a cero la primera derivada;
2000 - 4b = 0
4b = 2000
b = 2000/4
b = 500 pies
Sustituir en A;
A = 2000(500) - 2(500)²
A = 1000000 -500000
A = 500000 pies cuadrados
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