Question

Un agricultor debe cercar en forma rectangular un pedazo de un terreno. Para ello compró 6.000 metros de alambre de púas que debe disponer en seis lineas.

¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno a cercar para que su área sea máxima?

Answer 1

Las dimensiones del terreno para que el área sea la máxima son: 250 m de largo y 250 m de ancho

6000 metros de alambre,  que dispone en 6 lineas

Quiere decir que el perímetro del rectángulo es de 6000/6  = 1000 metros

Área de un rectángulo

Amax= xy

x: ancho

y: largo

Perímetro del rectángulo

P = 2x + 2y = 1000

Despejamos y en función de x

2y = 1000 - 2x

y = 500 - x

Sustituimos y en la ecuación del Amax

Amax = x(500-x)

Amax = -x² + 500x

Tenemos el Amax dependiendo de solo del ancho del rectángulo

Derivamos Amax para conseguir el valor x para que el área sea la máxima

Amax' = -2x + 500 = 0

Despejamos x

-2x + 500 = 0

x= -500/-2 = 250

Aplicamos la segunda derivada para verificar que x es un valor máximo

Amax''= -2

Como es un valor negativo, implica que el valor de x calculado si es un máximo

entonces sustituimos X en Y

Y = 500 - 250 = 250 m

Amax = 250*250 = 62500 m²

x = 250 m

y = 250m