Question

Un aereoplano vuela a 1500 m. De altura con una velocidad de 360 km/h. Suelta un objeto que debe caer sobre un rectángulo que debe caer como se ve en el dibujo. A) ¿Cuanto tiempo antes y a qué distancia deberá soltar el objeto para que caiga en el rectángulo?

Answer 1

El tiempo de vuelo del objeto es de 17.50 segundos, luego caerá en el rectángulo para ese instante de tiempo

El alcance horizontal $\bold { x_{MAX} }$ es de 1750 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por el objeto para que caiga en el rectángulo

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ ,debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: $\bold { V_{y} = 0 }$ , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende

Convertimos la velocidad inicial del lanzamiento de kilómetros por hora a metros por segundo

Dado que 1 kilómetro equivale a 1000 metros y en 1 hora se tienen 3600 segundos

$\boxed{ \bold{ V_{0x} = 360 \ \frac{\not km }{\not h} \ . \left( \frac{1000 \ m }{1\not km}\right) \ . \left( \frac{1\not h}{3600 \ s} \right) = \frac{360000 }{3600 } \ \frac{m}{a} = 100 \ \frac{m}{s} }}$

Calculamos el tiempo de vuelo del objeto

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó el objeto  $\bold{H = 1500 \ m}$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 1500 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 3000 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{306.122449 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 17.49635 \ segundoa } }$

$\large\boxed {\bold { t = 17.50 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo del objeto es de 17.50 segundos, luego caerá en el rectángulo para ese instante de tiempo

Determinamos el alcance máximo del objeto es decir la trayectoria horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =100 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 17.50 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 1750 \ metros}}$

El alcance horizontal $\bold { x_{MAX} }$ es de 1750 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por el objeto para que caiga en el rectángulo

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento.

Como se puede apreciar se describe una semiparábola