Un acuario de vidrio de base cuadrada está diseñado para contener ~32~ 32 space, 32, space pies cúbicos de agua. ¿Cuál es el área superficial mínima del acuario?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:corona si te ayudo en resumen son 94.40 pies
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El acuario de cristal de base cuadrada tiene un área superficial mínima de 94.40 pies cuadrados.
Explicación paso a paso:
Definimos las ecuaciones del volumen y área superficial del acuario, tal que:
V = a²·h
As = 2a² + 4·a·h
Entonces, sabiendo que el acuario tiene un volumen de 62.5 ft³ podemos decir que:
a²·h = 62.5
h = 62.5/a²
Sustituimos en la ecuación de área superficial:
As = 2a² + 4·a·(62.5/a²)
Ahora, derivamos e igualamos a cero:
4a -250/a² = 0
4a³ - 250 = 0
a³ = 62.5
a = 3.96 ft
Ahora, buscamos la altura:
h = 62.5/(3.96 )²
h = 3.98 ft
Por tanto, el área superficial mínima del acuario será:
As = 2(3.96)² + 4(3.96)·(3.98)
As = 94.40 ft²
Por tanto, el acuario de cristal de base cuadrada tiene un área superficial mínima de 94.40 pies cuadrados.
Explicación paso a paso:
corona si te ayude en resumen son 94.40 pies
Respuesta:
48 Pies cuadrados
Explicación paso a paso:
Para empezar, sea ~x~ x space, x, space la longitud del lado de la base y sea ~h~ h space, h, space la altura del acuario.
Entonces, el volumen del acuario es
\qquad V=x^2h\,V=x
2
hV, equals, x, squared, h.
Como el volumen es de ~32~ 32 space, 32, space pies cúbicos, tenemos que
\qquad x^2h=32x
2
h=32x, squared, h, equals, 32,
y podemos despejar ~h~ h space, h, space:
\qquad h=\dfrac{32}{x^2}\,h=
x
2
32
h, equals, start fraction, 32, divided by, x, squared, end fraction .
Pista #22 / 5
Ahora consideramos el área de la superficie total ~S~ S space, S, space, que es la suma de las áreas de la base y las cuatro paredes verticales congruentes. Así,
\qquad S(x)=x^2+4xh~~~S(x)=x
2
+4xh S, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x, h, space, space, space donde ~~~h=\dfrac{32}{x^2}\, h=
x
2
32
space, space, space, h, equals, start fraction, 32, divided by, x, squared, end fraction.
\qquad S(x)=x^2+4x\cdot \dfrac{32}{x^2}S(x)=x
2
+4x⋅
x
2
32
S, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x, dot, start fraction, 32, divided by, x, squared, end fraction
\qquad S(x)=x^2+\dfrac{128}{x}S(x)=x
2
+
x
128
S, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, start fraction, 128, divided by, x, end fraction
Pista #33 / 5
Para minimizar el área, necesitamos encontrar la derivada, igualarla a cero y resolver la ecuación resultante.
\qquad S\,^\prime(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}S
′
(x)=2x−
x
2
128
S, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, start fraction, 128, divided by, x, squared, end fraction
\qquad 2x-\dfrac{128}{x^2}=02x−
x
2
128
=02, x, minus, start fraction, 128, divided by, x, squared, end fraction, equals, 0
\qquad 2x^3-128=02x
3
−128=02, x, cubed, minus, 128, equals, 0
\qquad x^3-64=0x
3
−64=0x, cubed, minus, 64, equals, 0
\qquad x=4x=4x, equals, 4
Pista #44 / 5
Para confirmar que ~S(4)~ S(4) space, S, left parenthesis, 4, right parenthesis, space es un mínimo, aplicamos el criterio de la segunda derivada.
\qquad S\,^{\prime\prime}(x)=2+\dfrac{256}{x^3}S
′′
(x)=2+
x
3
256
S, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, plus, start fraction, 256, divided by, x, cubed, end fraction.
\qquad S\,^{\prime\prime}(4)=2+\dfrac{256}{4^3}=6S
′′
(4)=2+
4
3
256
=6S, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2, plus, start fraction, 256, divided by, 4, cubed, end fraction, equals, 6
Dado que ~S\,^\prime(4)=0~ S
′
(4)=0 space, S, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 0, space y ~S\,^{\prime\prime}(4)>0\, S
′′
(4)>0space, S, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 4, right parenthesis, is greater than, 0, sabemos que ~S(4)~ S(4) space, S, left parenthesis, 4, right parenthesis, space es un mínimo.
Pista #55 / 5
El área mínima de la superficie se alcanza en este valor, y es
\qquad S(4)=4^2+\dfrac{128}{4}=16+32=48~S(4)=4
2
+
4
128
=16+32=48 S, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 4, squared, plus, start fraction, 128, divided by, 4,16, plus, 32, equals, 48, pies cuadrados