Question

Un acróbata de circo es disparado por un cañón y describe en su recorrido una trayectoria parabólica hasta llegar a una red que se encuentra a 30 m de distancia respecto del cañón. Considerando que la línea que une la boca del cañón con la red pasa por el punto focal de la parábola descrita. Determina:
a) la altura máxima que alcanza el acróbata respecto al piso.
b) a ecuación del lugar geométrico que describe la trayectoria del acróbata.

Answer 1

La ecuación que describe el movimiento de la bala humana es una parábola abierta hacia abajo de la forma:

x² = -4py  ( 1 )

Para este problema se considerará que el vértice de la parábola, coincide con el centro de unas coordenadas cartesianas imaginarias.

Según lo expuesto, la cuerda focal, la distancia entre el cañon y la red, es de 30 m.  Es decir, que geométricamente se pudiera representar como 2 puntos cartesianos  C = ( -15,0), del lado del cañon,  y R=(15,0) del lado de la red.  Entonces se puede decir, dado que la cuerda focal es un segmento horizontal paralelo al eje de las X,  que la distancia entre cualquiera de estos puntos y el foco F de la parábola es de 15 m.

En este sentido, por la misma definición de la parábola, la distancia de cualquier punto de ésta hacia el punto focal F y la directriz, D, de la párabola es la misma. Por lo tanto,  la directriz se encuentra a 15 m del foco F.

De igual manera, la longitud de la directriz D es el doble de la Distancia Focal, p, que se requiere para conocer la ecuación de la parábola:

D= 2p     ⇒  p = d/2 = 15/2 = 7,5    ∴       p = 7,5 m

Igualmente, p, al ser la distancia entre el punto focal F y el Vértice V de la parábola, puede ser estimada como la altura máxima que alcanzaría el acróbata,  considerando que la altura de la boca del cañon y de la red, sean despreciables, al no mencionarse sobre éstas en el enunciado, con la cual se responde a la pregunta a):

Amax = p = 7,5 m

De igual manera, el conocer p ayuda a responder la pregunta b), determinar la ecuación del lugar geométrico que describe la trayectoria del acróbata:

De la ecuación ( 1 ) se tiene:

x² = -4py    ⇒    x² = -4(7.5)y  =  -30y

∴      x² =  -30y       -  Ec. que describe la trayectoria del Acróbata

A tu orden...