Question

Ubica los números del 8 al 16 de manera que las sumas horizontales, verticales y diagonales sean iguales. *
2 puntos

A

B

C

D

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

El estudio de los llamados cuadrados mágicos ha estado siempre presente en la matemática

recreativa. No sólo su propiedad fundamental, “la suma de todos los números de cada fila, de

cada columna y de cada diagonal es constante”, sino que algunos de los métodos ideados para

su construcción son tan ingeniosos que merecen el apelativo de “mágicos”.

Los cuadrados mágicos han estado presentes en todas las épocas y culturas del conocimiento

humano, han sido objeto de veneración religiosa, se han utilizado como elementos mágicos y

místicos, han merecido un lugar destacado en diversas manifestaciones artísticas e industriales

e, incluso, han despertado el interés entre los más ilustres matemáticos a lo largo de la historia, no sólo por su componente recreativa o didáctica. Algunos de los resultados matemáticos

relativos a los cuadrados mágicos tienen aplicaciones importantes a diversos campos del

conocimiento científico.

Sin pretender aportar nuevas propiedades de estos elementos matemáticos, ofrecemos aquí

una exposición de algunas de sus peculiaridades y características principales y describiremos

algunas aplicaciones que justifiquen su apelativo de “mágicos”, no en el contexto de la magia

mística sino en el del ilusionismo. Este enfoque puede proporcionar una nueva manera de

introducir contenidos matemáticos en programas didácticos y divulgativos en diferentes etapas

de la formación educativa.

1. INTRODUCCIÓN

Por definición, un cuadrado mágico de orden n es un tablero cuadrado formado por n filas

y n columnas en las que se escriben los n2

primeros números naturales, de modo que sea

constante la suma de los números de cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las dos

diagonales.

No es un ejercicio difícil determinar que dicho valor constante, llamado constante mágica, es

igual a n(n2

+1)/2. Para obtener este resultado, basta dividir por n la suma de los n2

primeros

números naturales.

En un contexto más general, utilizamos también el término cuadrado mágico incluso si se elimina la restricción de que la matriz esté formada por los n2

primeros números naturales.

Un caso particular de estos cuadrados mágicos generales, que se han puesto de moda con el

popular pasatiempo llamado SUDOKU, lo constituyen los cuadrados latinos. Un cuadrado

latino de orden n es un tablero cuadrado formado por n filas y n columnas en las que se escriben n números distintos pero dispuestos de modo que cada número aparece una y sólo una

vez en cada fila y columna.

1 2 3

2 3 1 Ejemplo de cuadrado latino de orden 3

3 1 2

(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.

Es famoso el problema de los oficiales propuesto por Leonhard Euler en 1779, el cual ha sido

origen de importantes resultados en Combinatoria y Teoría de Grafos, así como en diseño de

experimentos estadísticos. El problema, cuya respuesta es negativa, se plantea como sigue:

"De cada uno de seis regimientos distintos se escogen seis oficiales de distinto rango, por

ejemplo general, coronel, capitán, teniente, alférez y sargento. Queremos colocar los 36 oficiales en seis filas de seis personas cada una de manera que en ninguna fila y ninguna columna

haya dos oficiales del mismo rango ni del mismo regimiento. ¿Es posible dicha disposición?"

En su aspecto recreativo, es también muy conocido el solitario de los naipes, cuya solución

animamos a descubrir. Su planteamiento es el siguiente:

"De una baraja se extraen las cuatro figuras, sota, caballo, rey y as de todos los palos. Se

pide colocar las 16 cartas formando un cuadrado 4 x 4 de modo que cada fila y columna

contenga únicamente una carta de cada valor y de cada palo".

2. ASPECTOS HISTÓRICOS

Los cuadrados mágicos se conocen desde la antigüedad (año 2800 a.C.) por los chinos. Se dice

que su origen se remonta a la leyenda del “Lo Shu” (Shu significa libro en chino):

En una época pasada, grandes inundaciones asolaron una región de China. Los pobladores

intentaron apaciguar la cólera del río Lo (el actual río Amarillo) ofreciendo sacrificios, pero no

lograron dar con la cantidad adecuada hasta que observaron una tortuga que llevaba en la concha unos símbolos en forma de cuadrado mágico 3 x 3, con lo que dedujeron que el número

adecuado era precisamente el 15, suma de todas las filas, columnas y diagonales.

4 9 2

3 5 7

8 1 6