Question

Tres postes de luz forman los ángulos ABC, los cuales son instalados para incrementar el servicio de internet en un plantel educativo. Encuentra a que distancia debe ser instalado el primer poste del tercero, si el segundo poste tiene un ángulo de 70° como se muestra en la figura.

​

Answer 1

El primer poste se debe instalar a una distancia de aproximadamente 8.67 metros desde donde se ubica el tercer poste

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde en el vértice B se encuentra el segundo poste, en el vértice C se ubica el tercer poste y finalmente en el vértice A el primer poste. Donde se conocen las distancias entre el segundo poste y el tercero (a) y entre el segundo poste y el primero (c). Y el ángulo comprendido entre las 2 distancias conocidas que es de 70°

Por lo tanto para saber a que distancia se debe instalar el primer poste del tercero empleamos el teorema del coseno

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallando la distancia a la que se debe instalar el primer poste con respecto al tercero (lado b)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\bold{B = \beta }$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { b ^{2} = ( 5 \ m )^{2} + (9 \ m)^{2} - 2 \ . \ 5 \ m \ . \ 9 \ m\ . \ cos(70)^o }}$

$\boxed {\bold { b ^{2} = 25 \ m ^{2} + 81 \ m^{2} - 90 \ m^{2} \ . \ cos(70)^o }}$

$\boxed {\bold { b ^{2} = 106 \ m^{2} - 90 \ m^{2} \ . \ 0.3420201433256 }}$

$\boxed {\bold { b ^{2} = 106 \ m^{2} - 30.78 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { b ^{2} = 75.22 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ b ^{2} } = \sqrt{ 75.22\ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {b = \sqrt{ 75.22 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 8.672946\ m }}$

$\large\boxed {\bold { b \approx 8.67\ metros }}$

El primer poste se debe instalar a una distancia de aproximadamente 8.67 metros desde donde se ubica el tercer poste

Se adjunta gráfico