Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar. Determine el número de formas diferentes en que se pueden sentar teniendo en cuenta cada una de las siguientes situaciones:
No hay restricción alguna.
Todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres.
Exactamente una pareja (digamos, Luis y Matilde) están sentadas en los dos asientos del extremo derecho.
Luis y Matilde están sentadas uno junto a la otra.
Luis y Matilde están sentados juntos en la extrema izquierda y otra pareja (digamos, Jorge y Nubia) está sentada juntos en el medio.
Jorge y Nubia están sentados juntos en el medio y los otros dos esposos (digamos, Luis, Ricardo) están sentados junto a sus respectivas esposas (Matilde y Ana, respectivamente).
Todos los esposos est´an sentados junto a sus respectivas esposas.
Respuestas a la pregunta
Solución: si o hay restricción alguna tengo 720 formas diferentes de sentarse, si todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres tengo 36 formas diferentes, si exactamente una pareja (digamos, Luis y Matilde) están sentadas en los dos asientos del extremo derecho hay 48 formas, si Luis y Matilde están sentadas uno junto a la otra tendría 240 formas, si Luis y Matilde están sentados juntos en la extrema izquierda y otra pareja (digamos, Jorge y Nubia) está sentada juntos en el medio 8 formas diferente de sentarse, si Jorge y Nubia están sentados juntos en el medio y los otros dos esposos (digamos, Luis, Ricardo) están sentados junto a sus respectivas esposas (Matilde y Ana, respectivamente), 32 formas, por ultimo si cada uno esta sentado con su esposa serian 48 formas diferente de sentarse.
¿Por qué
Veamos caso por caso:
- No hay restricción alguna
Entonce seria la forma de ordenar 6 personas en 6 asientos, seria una permutación de 6 en 6:
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720
Si no hay restricciones se puede sentar de 720 maneras diferentes.
- Todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres.
Entonces serian dos permutaciones de 3 en 3
3!*3! = 3*2*1*3*2*1 = 36
- Exactamente una pareja (digamos, Luis y Matilde) están sentadas en los dos asientos del extremo derecho.
Entonces ya Luis y Matilde tienen asientos fijos, y tendría que permutar los otros 4 asientos. Serian permutaciones de 4 en 4
4! = 4*3*2*1= 24
Además tendría que multiplicar por 2 pues se pueden sentar Luis y Matillde o Matilde y Luis
24*2= 48
- Luis y Matilde están sentadas uno junto a la otra.
En este caso fijaremos a Luis y Matilde, esto se pueden colocar en el primero y segundo asiento, o segundo y tercero, o tercero y cuarto, o cuarto y quinto o quinto y sexto. Para un total de 5 posibilidades, multiplicando por 2, la permutación de ellos. Serian 10 posibilidades
Luego permutamos a los otros 4 que seria 4!, en total de posibilidades seria:
10*4!= 240
- Luis y Matilde están sentados juntos en la extrema izquierda y otra pareja (digamos, Jorge y Nubia) está sentada juntos en el medio.
Entonces fijamos a Luis y Matilde en la extrema derecha y los permutamos es decir 2 posibilidades y hacemos lo mismo con Jorge y Nubio ( pero fijado en el medio), luego permutamos a las otras 2 parejas en los asientos restantes. Entonces el total seria:
2*2*2 = 8
- Jorge y Nubia están sentados juntos en el medio y los otros dos esposos (digamos, Luis, Ricardo) están sentados junto a sus respectivas esposas (Matilde y Ana, respectivamente).
Esto seria fijar a Jorge y Nubia en el medio y lo permutamos que serian 2 posibilidades, ahora Luis y Matilde se podrían sentar a la izquierda o a la derecha si o fijamos a la derecha y multiplico por las 2 posibilidades automáticamente Ricardo y Ana van a a izquierda y multiplico por las 2 posibilidades, si los coloco a la izquierda vuelvo a multiplicar por 2 y luego con Ricardo y Ana multiplicamos nuevamente, entonces el total seria:
2*2*2*2*2= 32
- Todos los esposos están sentados junto a sus respectivas esposas.
En cuyo caso debe estar sentado una pareja en el primer y segundo asiento, otra en el segundo y tercero y otra en el tercer y 4. Lo que se reduciría a permutarlos en 3 , que seria 3!, luego debemos permutar a cada pareja, que seria multiplicar 3 veces por 2:
2*2*2*3! = 48